Problema 4. Calcule os seguintes limites. Justifique cuidadosamente todos os passos.
(1.0 pt ) \lim _{u \rightarrow 2^{-}} \frac{1-u}{3^{u}-9}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{u\to 2^-}\frac{1-u}{3^u-9}.
O conteúdo aqui é limite de quociente de funções, usando continuidade para o numerador e o denominador e depois análise de sinal para determinar se diverge.

Passo 2

Analisemos o numerador 1-u. Como u\mapsto1-u é contínua, temos
\lim_{u\to2^-}(1-u)=1-2=-1.

Passo 3

Agora o denominador 3^u-9. A função u\mapsto3^u é contínua e estritamente crescente, e para u<2 vale 3^u<3^2=9. Então
3^u-9<0,
e como 3^u\to9 quando u\to2^-, resulta
\lim_{u\to2^-}(3^u-9)=9-9=0,
com aproximação pelo lado negativo.

Passo 4

Para a razão, o numerador tende a -1\neq0 e o denominador tende a 0^-. Assim o quociente diverge para +\infty, pois dividir um valor negativo próximo de -1 por um número negativo muito pequeno dá um valor muito positivo.

Resposta

+\infty

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