Problema 4. Calcule os seguintes limites. Justifique cuidadosamente todos os passos.
(1.0 pt) \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left[\left(1+\frac{1}{2 x}\right)^{x+2}\right]

Passo 1

Resumindo, precisamos calcular o limite
L = \lim_{x \to +\infty} \ln\!\Bigl[\bigl(1+\tfrac{1}{2x}\bigr)^{x+2}\Bigr].
O conteúdo envolve propriedades de logaritmo e limites exponenciais.

Passo 2

Aplicando a propriedade \ln(a^b)=b\,\ln a, obtemos
L = \lim_{x \to +\infty} (x+2)\,\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{2x}\Bigr).

Passo 3

Para avaliar \displaystyle (x+2)\,\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{2x}\bigr), usamos o equivalente para u\to0: \ln(1+u)\sim u. Aqui u=\tfrac1{2x}\to0, logo
\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{2x}\Bigr) = \tfrac{1}{2x} + o\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
Como x+2 = x\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr), segue
(x+2)\,\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{2x}\Bigr) = x\Bigl(1+\tfrac{2}{x}\Bigr)\Bigl(\tfrac{1}{2x}+o(\tfrac{1}{x})\Bigr) = \tfrac12 + o(1).
Portanto,
L = \tfrac12.

Resposta

\tfrac12

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