Problema 1 (2.5 pts). Determine b para que a seguinte função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} seja contínua:
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 4-b x, & \text { se } & x<4 \\ \frac{4 x-x^{2}}{\sqrt{x}-2}, & \text { se } & x \geq 4 \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)=\begin{cases} 4 - b x, & x<4,\\\ \displaystyle \frac{4x - x^2}{\sqrt{x}-2}, & x\ge4, \end{cases}
e pede b para que f seja contínua em \mathbb{R}. A única possível descontinuidade é em x=4, então precisamos igualar os limites laterais em 4.

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda em x=4:
\lim_{x\to4^-}f(x) =\lim_{x\to4^-}(4 - b x) =4 - b\cdot4 =4 - 4b.

Passo 3

Calcular o limite pela direita em x=4. Como ao substituir x=4 a expressão dá 0/0, racionalizamos:
\frac{4x - x^2}{\sqrt{x}-2} =\frac{-x(x-4)}{\sqrt{x}-2} =\frac{-x(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} =\frac{-x(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4} =-x(\sqrt{x}+2).
Logo
\lim_{x\to4^+}f(x) =\lim_{x\to4^+}\bigl[-x(\sqrt{x}+2)\bigr] =-4\,(2+2) =-16.

Passo 4

Para continuidade em 4 precisamos
\lim_{x\to4^-}f(x)=\lim_{x\to4^+}f(x),
ou seja
4 - 4b = -16.
Resolvendo para b:
4b = 20 \quad\Longrightarrow\quad b = 5.

Resposta

b = 5

Exercícios relacionados