Problema 4. Calcule os seguintes limites. Justifique cuidadosamente todos os passos.
(1.0 \mathrm{pt}) \lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t^{5}+t^{4}+1}{2 t^{5}+t+1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{t \to +\infty} \frac{t^{5} + t^{4} + 1}{2\,t^{5} + t + 1}.
O conteúdo aqui é o limite de uma função racional no infinito. Sabendo que, quando t\to+\infty, os termos de maior grau no numerador e denominador dominam o comportamento, vamos usar a técnica de fatorar o maior grau para simplificar.

Passo 2

Fatoramos t^{5} em numerador e denominador para expor os termos que decaem a zero:
\frac{t^{5} + t^{4} + 1}{2\,t^{5} + t + 1} = \frac{t^{5}\bigl(1 + \tfrac{1}{t} + \tfrac{1}{t^{5}}\bigr)}{t^{5}\bigl(2 + \tfrac{1}{t^{4}} + \tfrac{1}{t^{5}}\bigr)}.

Passo 3

Cancelamos o fator comum t^{5} (que é positivo para t\to+\infty) e obtemos
\frac{t^{5} + t^{4} + 1}{2\,t^{5} + t + 1} = \frac{1 + \tfrac{1}{t} + \tfrac{1}{t^{5}}}{2 + \tfrac{1}{t^{4}} + \tfrac{1}{t^{5}}}.

Passo 4

Aplicamos agora o limite termo a termo. Para t\to+\infty, cada fração \tfrac{1}{t^{k}} tende a zero. Logo,
\lim_{t\to+\infty}\Bigl(1 + \tfrac{1}{t} + \tfrac{1}{t^{5}}\Bigr) = 1, \qquad \lim_{t\to+\infty}\Bigl(2 + \tfrac{1}{t^{4}} + \tfrac{1}{t^{5}}\Bigr) = 2.
Pelo Teorema da Convergência de Quocientes, o limite da razão é a razão dos limites:

Passo 5

\lim_{t \to +\infty} \frac{1 + \tfrac{1}{t} + \tfrac{1}{t^{5}}}{2 + \tfrac{1}{t^{4}} + \tfrac{1}{t^{5}}} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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