Problema 3.
(1.5 pt) Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por
f(x)=2 \sin ^{3}(x)+x+1
Prove que a equação f(x)=0 admite pelo menos uma raíz no intervalo [-\pi, \pi]

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=2\sin^3(x)+x+1
e pede para provar que existe pelo menos uma raiz de f(x)=0 no intervalo [-\pi,\pi]. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que exige:
  1. f contínua em [-\pi,\pi].
  2. Existirem a,b\in[-\pi,\pi] tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos.

Passo 2

Mostramos que f é contínua em \mathbb{R} porque é soma de funções contínuas: x\mapsto\sin(x) e x\mapsto x são contínuas, e o polinômio 2t^3+1 (aplicado em t=\sin(x)) também é contínuo. Logo, f é contínua em [-\pi,\pi].

Passo 3

Calculamos
f(-\pi)=2\sin^3(-\pi)+(-\pi)+1 =2\cdot0+(-\pi)+1 =1-\pi.
Como \pi\approx3{,}14, segue que 1-\pi<0. Portanto, f(-\pi)<0.

Passo 4

Calculamos
f(\pi)=2\sin^3(\pi)+\pi+1 =2\cdot0+\pi+1 =\pi+1>0.
Logo, f(\pi)>0.

Passo 5

Temos f(-\pi)<0 e f(\pi)>0 e f contínua em [-\pi,\pi]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c\in[-\pi,\pi] tal que f\text{(c)}=0.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz de f(x)=0 em [-\pi,\pi].

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