Problema 3.
(1.5 pt) Considere a função
definida por
Prove que a equação
admite pelo menos uma raíz no intervalo
(1.5 pt) Considere a função
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para provar que existe pelo menos uma raiz de
no intervalo
. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que exige:
-
contínua em . - Existirem
tais que e tenham sinais opostos.
Passo 2
Mostramos que
é contínua em
porque é soma de funções contínuas:
e
são contínuas, e o polinômio
(aplicado em
) também é contínuo. Logo,
é contínua em
.
Passo 3
Calculamos
Como
, segue que
. Portanto,
.
Passo 4
Calculamos
Logo,
.
Passo 5
Temos
e
e
contínua em
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
.
Resposta
Existe pelo menos uma raiz de
em
.