Problema 3.
(1.5 pt) Considere a função
definida por
Prove que a equação
admite pelo menos uma raíz no intervalo
(1.5 pt) Considere a função
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz em
. O conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que garante existência de raiz se uma função contínua muda de sinal num intervalo.
Passo 2
Verificamos que
é contínua em
, pois é combinação de funções contínuas (cosseno, potência, identidade e soma).
Passo 3
Calculamos
. Como
, temos
Logo,
Como
, segue que
Passo 4
Calculamos
. De novo
, então
Como
, resulta
Passo 5
Observamos que
e
. Pela continuidade de
em
e pelo Teorema do Valor Intermediário, existe ao menos um
tal que
Resposta
Existe pelo menos uma raiz de
no intervalo
.