Problema 3.
(1.5 pt) Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por
f(x)=2 \cos ^{5}(x)-x+1 .
Prove que a equação f(x)=0 admite pelo menos uma raíz no intervalo [-\pi, \pi]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
f(x)=0,\quad f(x)=2\cos^{5}(x)-x+1
tem pelo menos uma raiz em [- \pi,\pi]. O conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que garante existência de raiz se uma função contínua muda de sinal num intervalo.

Passo 2

Verificamos que f é contínua em \mathbb{R}, pois é combinação de funções contínuas (cosseno, potência, identidade e soma).

Passo 3

Calculamos f(-\pi). Como \cos(-\pi)=\cos\pi=-1, temos
\cos^{5}(-\pi)=(-1)^{5}=-1
Logo,
f(-\pi)=2\cdot(-1)-(-\pi)+1=-2+\pi+1=\pi-1.
Como \pi\approx3,14>1, segue que
f(-\pi)=\pi-1>0.

Passo 4

Calculamos f(\pi). De novo \cos\pi=-1, então
f(\pi)=2\cdot(-1)-\pi+1=-2-\pi+1=-(\pi+1).
Como \pi+1>0, resulta
f(\pi)=-(\pi+1)<0.

Passo 5

Observamos que f(-\pi)>0 e f(\pi)<0. Pela continuidade de f em [- \pi,\pi] e pelo Teorema do Valor Intermediário, existe ao menos um c\in(-\pi,\pi) tal que
f\text{(c)}=0.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz de f(x)=0 no intervalo [- \pi,\pi].

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