Problema 3.
(1.0 pt) Prove que o conjunto A=\left\{\left.\frac{e^{x}-x}{1-x^{2}} \right\rvert\, 2 \leq x \leq 3\right\} admite máximo e mínimo.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
A = \left\{\frac{e^x - x}{1 - x^2}\,\Bigm|\,2 \le x \le 3\right\}
e pede para mostrar que A admite máximo e mínimo.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Valor Extremo (ou Teorema de Weierstrass), que diz que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge valor mínimo e valor máximo nesse intervalo.
Passo 2
Definimos a função
f(x) = \frac{e^x - x}{1 - x^2},\quad x\in[2,3].
Note que:
g(x)=e^x - x é contínua em \R.
h(x)=1 - x^2 é contínua em \R e, para x\in[2,3], tem h(x)\le1-2^2=-3\neq0.
Como h(x) nunca zera em [2,3], o quociente
f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}
é bem definido e contínuo em todo [2,3] (razão de duas funções contínuas com denominador não nulo).
Passo 3
Ora, [2,3] é um conjunto fechado e limitado (compacto em \R) e f é contínua em [2,3]. Pelo Teorema de Valor Extremo, f atinge um valor mínimo e um valor máximo nesse intervalo. Portanto, o conjunto imagem
A = f([2,3])
tem de fato máximo e mínimo.
Resposta
O conjunto A admite máximo e mínimo, pois é a imagem de uma função contínua em um intervalo fechado e limitado.