Problema 3.
(1.0 pt) Prove que o conjunto A=\left\{\left.\frac{\ln \left(x^{2}\right)+x}{x^{3}} \right\rvert\, 1 \leq x \leq 2\right\} admite máximo e mínimo.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = \biggl\{\frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)+x}{x^{3}}\;\bigm|\;1 \le x \le 2\biggr\}
e pede para provar que A admite máximo e mínimo. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Extremo (ou Teorema de Weierstrass), que diz que toda função contínua num intervalo compacto atinge valor mínimo e máximo.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)+x}{x^{3}}.
Para mostrar que f é contínua em [1,2], note que (1) x\mapsto x^2 é contínua, (2) x\mapsto \ln(x^2) é composta de funções contínuas para x>0, (3) x\mapsto x e x\mapsto x^3 são contínuas, e (4) a soma e a divisão por uma função que não zera (pois x^3\neq0 em [1,2]) preservam continuidade. Logo f é contínua em todo [1,2].

Passo 3

O intervalo [1,2] é fechado e limitado em \mathbb{R}, isto é, é um conjunto compacto.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Extremo, toda função contínua num conjunto compacto atinge seu valor mínimo e seu valor máximo. Como f é contínua em [1,2], existem x_{\min} e x_{\max} em [1,2] tais que
f(x_{\min}) = \min_{1\le x\le2} f(x) \quad\text{e}\quad f(x_{\max}) = \max_{1\le x\le2} f(x).

Resposta

O conjunto A admite máximo e mínimo em virtude do Teorema do Valor Extremo aplicado à função contínua
f(x)=\frac{\ln(x^2)+x}{x^3}
no intervalo compacto [1,2].

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