1. (Problema 4) Um carro sobe uma ladeira a uma velocidade constante de 45 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e desce a ladeira a uma velocidade constante de 55 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Calcule a velocidade escalar média durante a viagem de ida e volta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta.
  • Informações dadas:
    • A velocidade na subida é 45\\ \mathrm{km/h}.
    • A velocidade na descida é 55\\ \mathrm{km/h}.
    • A viagem é de ida e volta (mesma distância na ida e na volta).
  • Pergunta:
    • Calcular a velocidade escalar média durante a viagem de ida e volta.

Passo 2

Vamos fixar o que queremos calcular com uma fórmula clara. A velocidade escalar média é definida como a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Se chamarmos a distância total de D e o tempo total de T, então:
v_{\text{média}}=\frac{D}{T}.é
Explicando as letras: D é a soma das distâncias de ida e volta; T é a soma dos tempos que o carro levou em cada trecho. Essa fórmula é fundamental — é a que usamos sempre que queremos a “velocidade média” quando a velocidade varia ao longo do percurso.

Passo 3

Para facilitar, chamo a distância de ida (uma perna) de d. Então:
D=2d
porque ida e volta têm a mesma distância.
Agora calculo os tempos em cada trecho usando a relação tempo = distância / velocidade.
  • Tempo da subida:
t_1=\frac{d}{45}\quad\text{(horas)}.
  • Tempo da descida:
t_2=\frac{d}{55}\quad\text{(horas)}.

Passo 4

O tempo total é a soma dos dois tempos:
T=t_1+t_2=\frac{d}{45}+\frac{d}{55}=d\left(\frac{1}{45}+\frac{1}{55}\right).
Agora somo as frações internas. Primeiro calculo o denominador comum e a soma:
\frac{1}{45}+\frac{1}{55}=\frac{55+45}{45\cdot55}=\frac{100}{45\cdot55}.
Como 45\cdot55=2475, temos
\frac{1}{45}+\frac{1}{55}=\frac{100}{2475}.
Portanto
T=d\cdot\frac{100}{2475}.

Passo 5

Agora volto à fórmula da velocidade média:
v_{\text{média}}=\frac{D}{T}=\frac{2d}{d\cdot\frac{100}{2475}}.é
Cancelo d (não é zero) e faço a divisão:
v_{\text{média}}=\frac{2}{\frac{100}{2475}}=2\cdot\frac{2475}{100}=\frac{4950}{100}.é
Dividindo:
v_{\text{média}}=49,5\\ \mathrm{km/h}.é

Passo 6

Uma observação prática e útil para provas: quando a ida e a volta têm a mesma distância, a velocidade média não é a média aritmética das velocidades, mas a média harmónica dada por
v_{\text{média}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.é
Se aplicarmos com v_1=45 e v_2=55,
v_{\text{média}}=\frac{2\cdot45\cdot55}{45+55}=\frac{4950}{100}=49,5\\ \mathrm{km/h},é
o mesmo resultado. Isso é útil para calcular rápido sem introduzir d.

Passo 7

Resumo final: seguindo a definição de velocidade média e somando corretamente os tempos, chegamos ao resultado acima. Você conseguiu — essa é uma questão clássica que costuma confundir quem tenta fazer média aritmética sem pensar no tempo gasto. Força aí, tá indo bem!

Resposta

49,5\\ \mathrm{km/h}

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