Questão 3. (Valor 1,6) Temios un microsodpio com uma lente objetiva de diämetro 10 mm , e utilizamos um feixe de luz de comprimento de onda de 500 nm . a. Qual é o ângulo de melhor resoluçāo desse microscópio? b. Sendo o comprimento do tubo igual a 30 cm , qual é a menor distáncia entre dois pontos que podemos distinguir com essa resoluçăo?

Passo 1

O enunciado dá um microscópio com lente objetiva de diâmetro D=10\\ \mathrm{mm} e usa luz de comprimento de onda \lambda=500\\ \mathrm{nm}. Pede:
a) o ângulo de melhor resolução (critério de Rayleigh);
b) a menor distância entre dois pontos no plano da imagem, sabendo que o tubo tem comprimento L=30\\ \mathrm{cm}.
Conteúdo: difração em abertura circular e critério de Rayleigh, seguido de cálculo de resolução linear \Delta x=L\,\theta.

Passo 2

Pelo critério de Rayleigh para abertura circular, o ângulo mínimo de resolução é dado por
\theta \;=\; 1,22\,\frac{\lambda}{D},
onde 1{,}22 vem do primeiro mínimo do padrão de difração de Airy.

Passo 3

Convertemos unidades e calculamos \theta: \lambda=500\\ \mathrm{nm}=5,0\times10^{-7}\\ \mathrm{m}, D=10\\ \mathrm{mm}=1,0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
\theta = 1,22\,\frac{5,0\times10^{-7}}{1,0\times10^{-2}} =1,22\times5,0\times10^{-5} =6,1\times10^{-5}\\ \mathrm{rad}.
Em graus,
\theta_\deg=\theta\times\frac{180}{\pi}\approx6,1\times10^{-5}\times57,3\approx3,5\times10^{-3}{}^\circ.

Passo 4

A menor distância \Delta x entre dois pontos no plano focal do microscópio é
\Delta x = L\,\theta,
com L=30\\ \mathrm{cm}=0,30\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Substituindo valores,
\Delta x = 0,30\times6,1\times10^{-5} =1,83\times10^{-5}\\ \mathrm{m} =18,3\times10^{-6}\\ \mathrm{m} =18,3\\ \mu\mathrm{m}.

Resposta

(a) \theta=6,1\times10^{-5}\\ \mathrm{rad}\approx3,5\times10^{-3}{}^\circ
(b) \Delta x=1,83\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\approx18,3\\ \mu\mathrm{m}

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