Seja M o conjunto das matrizes da forma [cca & b -b & a], onde a, b são números reais.
Usando a correspondência da parte b entre M e C, mostre que M é um bom modelo matricial para números complexos, isto é, a adição em M corresponde à adição em C, e o mesmo para a multiplicação em M e C.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto M das matrizes
a & b -,b & a
com a,binR é um bom modelo matricial para números complexos. O conteúdo aqui é a ideia de isomorfismo de anéis (ou corpos): precisamos definir uma correspondência entre a+bi e essas matrizes e verificar que ela preserva adição e multiplicação.

Passo 2

Definimos a aplicação
varphi:CtoM
por
varphi(a+bi)= a & b -,b & a
Cada par (a,b) em R^2 determina unicamente a+bi e vice-versa, então varphi é bijetora.

Passo 3

Verificamos que varphi preserva a adição. Seja z1=a+bi e z2=c+di. Então
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
e
varphi(z1+z2)= a+c & b+d -(b+d) & a+c
Por outro lado,
varphi(z1)+varphi(z2)= a & b -,b & a + c & d -,d & c = a+c & b+d -(b+d) & a+c
Logo
varphi(z1+z2)=varphi(z1)+varphi(z2)

Passo 4

Verificamos que varphi preserva a multiplicação. Com as mesmas notações,
z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i
e
varphi(z1z2)= ac-bd & ad+bc -(ad+bc) & ac-bd
Enquanto isso,
varphi(z1),varphi(z2) = a & b -,b & a c & d -,d & c = ac-bd & ad+bc -(ad+bc) & ac-bd
Portanto
varphi(z1z2)=varphi(z1),varphi(z2)

Resposta

A aplicação varphi é um isomorfismo de anéis entre C e M. Assim, a adição e a multiplicação em M correspondem exatamente às operações em C, mostrando que M é de fato um bom modelo matricial para os números complexos.

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