Problema 1 Considerando os parâmetros dados como números reais, encontre os pontos fixos dos seguintes sistemas dinâmicos:
ddotx-x+x^5=0;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos fixos do sistema dinamico de segunda ordem ddotx - x + x^5 = 0. Esse conteúdo é sobre transformação de uma equação diferencial de 2ª ordem em um sistema de 1ª ordem e identificação de equilíbrios, e vamos precisar usar a definição de ponto fixo, em que todas as derivadas temporais são nulas.

Passo 2

Para transformar em sistema de primeira ordem, definimos as variáveis de estado x1 = x e x2 = dotx. Assim obtemos o sistema:
dotx1 = x2, dotx2 = x1 - x1^5

Passo 3

Os pontos fixos são aqueles em que dotx1 = 0 e dotx2 = 0 simultaneamente. Da primeira equação vem x2 = 0. Da segunda,
x1 - x1^5 = 0 Longrightarrow x1,(1 - x1^4) = 0 Longrightarrow x1 = 0 ;ou; x1^4 = 1 ;(logo x1 = pm1)

Passo 4

Concluindo, os pontos fixos no espaço de fase (x1,x2) são exatamente aqueles em que x2=0 e x1in0,1,-1.

Resposta

(0,0), (1,0) e (-1,0)

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