Problema 1: Considere uma colisão elástica unidimentsional entre duas partículas de massas m_{1} e m_{2}. Com respeito a um dado referencial inercial, inicialmente m_{1} tem velocidade \vec{v}_{10} e m_{2} encontra-se em repouso. No referencial do centro de massa do sistema, obtenha:
(i) As velocidades finais de m_{1} e m_{2};
(ii) As velocidades finais de m_{1} e m_{2} para m_{1} \gg m_{2};
(iii) As velocidades finais de m_{1} e m_{2} para m_{1} \ll m_{2}.

Passo 1

O enunciado trata de uma colisão elástica unidimensional entre duas partículas de massas m_{1} (com velocidade inicial \vec v_{10}) e m_{2} (inicialmente em repouso). Vamos trabalhar no referencial do centro de massa (CM), em que:
  • precisamos calcular a velocidade do CM,
  • expressar as velocidades iniciais de cada partícula no CM,
  • usar o fato de que, em colisão elástica no CM, as velocidades simplesmente se invertem de sinal,
  • e então obter as velocidades finais no CM.

Passo 2

A velocidade do centro de massa vale
V_{\rm CM} =\frac{m_{1}\,v_{10}+m_{2}\cdot 0}{m_{1}+m_{2}} =\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{10}.

Passo 3

As velocidades iniciais no CM são
v'_{1i}=v_{10}-V_{\rm CM} =\;v_{10}-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{10} =\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{10},
v'_{2i}=0 - V_{\rm CM} =-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{10}.

Passo 4

Em colisão elástica no CM, as velocidades se invertem de sinal:
v'_{1f}=-\,v'_{1i},\qquad v'_{2f}=-\,v'_{2i}.

Passo 5

Substituindo v'_{1i} e v'_{2i}:
v'_{1f} =-\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{10}, \qquad v'_{2f} =-\biggl(-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{10}\biggr) =\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{10}.

Passo 6

Para m_{1}\gg m_{2} temos \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\to1 e \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\to0. Logo,
v'_{1f}\approx 0, \qquad v'_{2f}\approx v_{10}.

Passo 7

Para m_{1}\ll m_{2} temos \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\to0 e \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\to1. Logo,
v'_{1f}\approx -\,v_{10}, \qquad v'_{2f}\approx 0.

Resposta

(i) No referencial do CM:
v'_{1f}=-\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{10}, \quad v'_{2f}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{10}.
(ii) Para m_{1}\gg m_{2}:
v'_{1f}\approx0, \quad v'_{2f}\approx v_{10}.
(iii) Para m_{1}\ll m_{2}:
v'_{1f}\approx -\,v_{10}, \quad v'_{2f}\approx0.

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