*Problema A. 2 Considere o conjunto de todos os polinômios (com coeficientes complexos) de grau menor do que
em
.
(a) Esse conjunto constitui um espaço vetorial (tendo os polinômios como ‘vetores’)? Se a resposta for sim, sugira uma base conveniente e dê as dimensões de espaço. Se a resposta for não, de quais propriedades definidas ele necessita?
(b) E se exigirmos que os polinômios sejam funçōes pares?
(c) E se exigirmos que o coeficiente principal (isto é, o número que multiplica
) seja 1?
(d) E se exigirmos que os polinômios tenham o valor 0 em
?
(e) E se exigirmos que os polinômios tenham o valor 1 em
?
(a) Esse conjunto constitui um espaço vetorial (tendo os polinômios como ‘vetores’)? Se a resposta for sim, sugira uma base conveniente e dê as dimensões de espaço. Se a resposta for não, de quais propriedades definidas ele necessita?
(b) E se exigirmos que os polinômios sejam funçōes pares?
(c) E se exigirmos que o coeficiente principal (isto é, o número que multiplica
(d) E se exigirmos que os polinômios tenham o valor 0 em
(e) E se exigirmos que os polinômios tenham o valor 1 em
Passo 1
O enunciado pede para examinarmos o conjunto
de todos os polinômios com coeficientes em e grau estritamente menor do que
, e verificar em cada caso se forma um espaço vetorial (subespaço ou variedade afim) sobre
. Vamos usar o fato de que um conjunto é espaço vetorial se contém o polinômio zero, é fechado sob soma e multiplicação escalar, e então indicar uma base e a dimensão quando for subespaço.
de todos os polinômios com coeficientes em
Passo 2
Caso (a): sem nenhuma restrição extra, o conjunto é justamente o espaço
. Sabemos que ele contém o zero, é fechado em soma e escala, e satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial. Uma base natural é
,
portanto
.
portanto
Passo 3
Caso (b): exigindo que o polinômio seja função par, ou seja
, obtemos um subespaço de
. Ele também contém o zero e fecha sob soma e escala. Como só aparecem potências de expoente par, uma base é
.
O número de vetores dessa base é , que equivale a
.
O número de vetores dessa base é
Passo 4
Caso (c): impor que o coeficiente de
seja 1 força um subconjunto que não contém o polinômio zero e não é fechado sob adição nem multiplicação escalar (por exemplo, somar dois polinômios com coeficiente principal 1 dá coeficiente principal 2). Logo isso não é um espaço vetorial, mas sim uma variedade afim. Faltam a presença do vetor zero e o fechamento sob soma e escala.
Passo 5
Caso (d): pedir que
define o núcleo da aplicação linear de avaliação em 1, que é um subespaço de
. Ele contém o zero e fecha sob operação vetorial. Uma base conveniente é
,
que tem exatamente elementos, de modo que
.
que tem exatamente
Passo 6
Caso (e): exigir
define outra variedade afim (hiperplano “deslocado”) que também não contém o polinômio zero e não é fechada sob soma ou escala. Logo não é espaço vetorial.
Resposta
(a) Sim. Base
, dimensão
.
(b) Sim. Base , dimensão
.
(c) Não. Falta o zero e o fechamento sob soma e escala.
(d) Sim. Base , dimensão
.
(e) Não. Falta o zero e o fechamento sob soma e escala.
(b) Sim. Base
(c) Não. Falta o zero e o fechamento sob soma e escala.
(d) Sim. Base
(e) Não. Falta o zero e o fechamento sob soma e escala.