*Problema A. 2 Considere o conjunto de todos os polinômios (com coeficientes complexos) de grau menor do que N em x.
(a) Esse conjunto constitui um espaço vetorial (tendo os polinômios como ‘vetores’)? Se a resposta for sim, sugira uma base conveniente e dê as dimensões de espaço. Se a resposta for não, de quais propriedades definidas ele necessita?
(b) E se exigirmos que os polinômios sejam funçōes pares?
(c) E se exigirmos que o coeficiente principal (isto é, o número que multiplica x^{\mathrm{N}-1} ) seja 1?
(d) E se exigirmos que os polinômios tenham o valor 0 em x=1 ?
(e) E se exigirmos que os polinômios tenham o valor 1 em x=0 ?

Passo 1

O enunciado pede para examinarmos o conjunto
de todos os polinômios com coeficientes em \mathbb{C} e grau estritamente menor do que N, e verificar em cada caso se forma um espaço vetorial (subespaço ou variedade afim) sobre \mathbb{C}. Vamos usar o fato de que um conjunto é espaço vetorial se contém o polinômio zero, é fechado sob soma e multiplicação escalar, e então indicar uma base e a dimensão quando for subespaço.

Passo 2

Caso (a): sem nenhuma restrição extra, o conjunto é justamente o espaço \mathbb{C}[x]_{<N}. Sabemos que ele contém o zero, é fechado em soma e escala, e satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial. Uma base natural é
\{\,1,\,x,\,x^2,\,\dots,\,x^{N-1}\},
portanto
\dim \mathbb{C}[x]_{<N}=N.

Passo 3

Caso (b): exigindo que o polinômio seja função par, ou seja P(-x)=P(x), obtemos um subespaço de \mathbb{C}[x]_{<N}. Ele também contém o zero e fecha sob soma e escala. Como só aparecem potências de expoente par, uma base é
\{\,1,\,x^2,\,x^4,\,\dots,\,x^{2\lfloor (N-1)/2\rfloor}\}.
O número de vetores dessa base é \lfloor (N-1)/2\rfloor+1, que equivale a \lceil N/2\rceil.

Passo 4

Caso (c): impor que o coeficiente de x^{N-1} seja 1 força um subconjunto que não contém o polinômio zero e não é fechado sob adição nem multiplicação escalar (por exemplo, somar dois polinômios com coeficiente principal 1 dá coeficiente principal 2). Logo isso não é um espaço vetorial, mas sim uma variedade afim. Faltam a presença do vetor zero e o fechamento sob soma e escala.

Passo 5

Caso (d): pedir que P(1)=0 define o núcleo da aplicação linear de avaliação em 1, que é um subespaço de \mathbb{C}[x]_{<N}. Ele contém o zero e fecha sob operação vetorial. Uma base conveniente é
\{\,x-1,\;x(x-1),\;x^2(x-1),\;\dots,\;x^{N-2}(x-1)\},
que tem exatamente N-1 elementos, de modo que \dim=N-1.

Passo 6

Caso (e): exigir P(0)=1 define outra variedade afim (hiperplano “deslocado”) que também não contém o polinômio zero e não é fechada sob soma ou escala. Logo não é espaço vetorial.

Resposta

(a) Sim. Base \{1,x,\dots,x^{N-1}\}, dimensão N.
(b) Sim. Base \{1,x^2,\dots,x^{2\lfloor(N-1)/2\rfloor}\}, dimensão \lceil N/2\rceil.
(c) Não. Falta o zero e o fechamento sob soma e escala.
(d) Sim. Base \{\,x-1,\;x(x-1),\dots,x^{N-2}(x-1)\}, dimensão N-1.
(e) Não. Falta o zero e o fechamento sob soma e escala.

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