Problema A. 1 Considere os vetores ordinários em 3 dimensões \left(a_{x} \hat{i}+a_{y} \hat{j}+a_{z} \hat{k}\right), com componentes complexos.
(a) O subconjunto de todos os vetores \operatorname{com} a_{z}=0 constitui um espaço vetorial? Se sim, qual é a sua dimensão? Se não, por que năo?
(b) E o subconjunto de todos os vetores cujo componente z é 1? Dica: a adiçāo de dois desses vetores estaria no subconjunto? E o vetor nulo?

Passo 1

O enunciado fala de vetores em \mathbb{C}^3 escritos como \bigl(a_x\,\hat\imath + a_y\,\hat\jmath + a_z\,\hat k\bigr) e pede para verificar se dois subconjuntos são espaços vetoriais (subespaços) e, em caso positivo, qual a dimensão. Vamos precisar usar a definição de subespaço (conter o vetor nulo, ser fechado sob soma e multiplicação por escalares) e, se for subespaço, contar o número de direções livres para determinar a dimensão.

Passo 2

Analisando o subconjunto \{(a_x,a_y,a_z)\in\mathbb{C}^3 : a_z=0\}:
  1. O vetor nulo em \mathbb{C}^3 é (0,0,0), que satisfaz a_z=0.
  2. Se (a_x,a_y,0) e (b_x,b_y,0) têm z=0, sua soma é (a_x+b_x,\;a_y+b_y,\;0+0), ainda com z=0.
  3. Se \alpha\in\mathbb{C} e (a_x,a_y,0) tem z=0, então \alpha\,(a_x,a_y,0) = (\alpha a_x,\;\alpha a_y,\;\alpha\cdot0) = (\alpha a_x,\;\alpha a_y,\;0).
    Logo, esse subconjunto satisfaz todas as condições de subespaço e é um espaço vetorial.
Para a dimensão, note que cada vetor desse subespaço é determinado livremente por (a_x,a_y). Isso é isomorfo a \mathbb{C}^2, logo a dimensão é 2.

Passo 3

Analisando o subconjunto \{(a_x,a_y,a_z)\in\mathbb{C}^3 : a_z=1\}:
  1. O vetor nulo (0,0,0) não pertence pois seu z vale 0, não 1.
  2. Se pegamos dois vetores com a_z=1 e b_z=1, a soma tem componente z = 1 + 1 = 2, que não está no subconjunto.
    Portanto, falha tanto em conter o vetor nulo quanto em ser fechado sob adição, e não é subespaço vetorial.

Resposta

(a) Sim. É subespaço de \mathbb{C}^3 e tem dimensão 2.
(b) Não. Não contém o vetor nulo e não é fechado sob adição.

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