Problema A. 1 Considere os vetores ordinários em 3 dimensões
, com componentes complexos.
(a) O subconjunto de todos os vetores
constitui um espaço vetorial? Se sim, qual é a sua dimensão? Se não, por que năo?
(b) E o subconjunto de todos os vetores cujo componente z é 1? Dica: a adiçāo de dois desses vetores estaria no subconjunto? E o vetor nulo?
(a) O subconjunto de todos os vetores
(b) E o subconjunto de todos os vetores cujo componente z é 1? Dica: a adiçāo de dois desses vetores estaria no subconjunto? E o vetor nulo?
Passo 1
O enunciado fala de vetores em
escritos como
e pede para verificar se dois subconjuntos são espaços vetoriais (subespaços) e, em caso positivo, qual a dimensão. Vamos precisar usar a definição de subespaço (conter o vetor nulo, ser fechado sob soma e multiplicação por escalares) e, se for subespaço, contar o número de direções livres para determinar a dimensão.
Passo 2
Analisando o subconjunto
:
- O vetor nulo em
é , que satisfaz . - Se
e têm , sua soma é , ainda com . - Se
e tem , então .
Logo, esse subconjunto satisfaz todas as condições de subespaço e é um espaço vetorial.
Para a dimensão, note que cada vetor desse subespaço é determinado livremente por
. Isso é isomorfo a
, logo a dimensão é 2.
Passo 3
Analisando o subconjunto
:
- O vetor nulo
não pertence pois seu vale 0, não 1. - Se pegamos dois vetores com
e , a soma tem componente , que não está no subconjunto.
Portanto, falha tanto em conter o vetor nulo quanto em ser fechado sob adição, e não é subespaço vetorial.
Resposta
(a) Sim. É subespaço de
e tem dimensão 2.
(b) Não. Não contém o vetor nulo e não é fechado sob adição.
(b) Não. Não contém o vetor nulo e não é fechado sob adição.