Problema 2. Considere uma função de onda \psi(x, t) que satisfaz a equação de Schrödinger unidimensional com potencial real V(x).
a) Mostre que a densidade de probabilidade \rho(x, t)= \psi(x, t) \psi^{*}(x, t)=|\psi(x, t)|^{2} satisfaz uma equação de continuidade.
b) Obtenha a expressão da corrente de probabilidade j(x, t).
c) Calcule j(x, t) para uma onda plana.

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e nos dá uma condição importante:
  • Pede (a) mostrar que a densidade de probabilidade \rho(x,t)=\psi(x,t)\psi^*(x,t)=|\psi(x,t)|^{2} satisfaz uma equação de continuidade.
  • Pede (b) obter a expressão da corrente de probabilidade j(x,t).
  • Pede (c) calcular j(x,t) para uma onda plana.
Informação dada (pegar do enunciado):
  • A função de onda \psi(x,t) satisfaz a equação de Schrödinger unidimensional com potencial real V(x). Explicitamente, a equação é
i\hbar\,\partial_{t}\psi(x,t) = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\partial_{x}^{2}\psi(x,t) + V(x)\,\psi(x,t).
  • O potencial V(x) é real (isso será usado quando tomarmos o conjugado complexo).

Passo 2

Definir a densidade de probabilidade e calcular sua derivada temporal usando a regra do produto (explicando passo a passo).
A densidade de probabilidade é
\rho(x,t)=\psi(x,t)\,\psi^{*}(x,t).
A derivada temporal parcial usa a regra do produto:
\partial_{t}\rho = \partial_{t}\big(\psi\,\psi^{*}\big) = (\partial_{t}\psi)\,\psi^{*} + \psi\,(\partial_{t}\psi^{*}).
Aqui \partial_{t} denota \partial/\partial t. Isso é apenas a regra básica de diferenciação de um produto de duas funções dependentes de t.

Passo 3

Substituir \partial_{t}\psi e \partial_{t}\psi^{*} usando a equação de Schrödinger e sua conjugada (mostrando cada passo).
A equação de Schrödinger dada é
i\hbar\,\partial_{t}\psi = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\partial_{x}^{2}\psi + V(x)\psi.
Tomando o conjugado complexo dessa equação (lembre: (i)^{*}=-i e V(x) é real, então V^{*}=V), obtemos
-\,i\hbar\,\partial_{t}\psi^{*} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\partial_{x}^{2}\psi^{*} + V(x)\psi^{*}.
Agora isolamos \partial_{t}\psi e \partial_{t}\psi^{*}:
\partial_{t}\psi = \frac{1}{i\hbar}\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\partial_{x}^{2}\psi + V\psi\right), \qquad \partial_{t}\psi^{*} = -\frac{1}{i\hbar}\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\partial_{x}^{2}\psi^{*} + V\psi^{*}\right).
Essas expressões substituem os termos na fórmula de \partial_{t}\rho.

Passo 4

Fazer a substituição em \partial_{t}\rho e simplificar, mostrando que termos com V se cancelam (por isso usamos V real) e chegar a uma forma com derivadas espaciais.
Substituindo:
\partial_{t}\rho = \psi^{*}\,\frac{1}{i\hbar}\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\partial_{x}^{2}\psi + V\psi\right) + \psi\,\left[-\frac{1}{i\hbar}\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\partial_{x}^{2}\psi^{*} + V\psi^{*}\right)\right].
Colocando em evidência 1/(i\hbar) e separando os termos:
\partial_{t}\rho = \frac{1}{i\hbar}\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\big(\psi^{*}\partial_{x}^{2}\psi\big) + \psi^{*}V\psi\right] -\frac{1}{i\hbar}\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\big(\psi\partial_{x}^{2}\psi^{*}\big) + \psi V\psi^{*}\right].
Os termos com V são iguais e com sinais opostos, logo se cancelam:
\psi^{*}V\psi - \psi V\psi^{*} = 0.
Fica então
\partial_{t}\rho = -\frac{\hbar}{2mi}\left(\psi^{*}\partial_{x}^{2}\psi - \psi\partial_{x}^{2}\psi^{*}\right).
Aqui usei \dfrac{1}{i\hbar}\left(-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\right) = -\dfrac{\hbar}{2mi}.

Passo 5

Transformar a combinação \psi^{*}\partial_{x}^{2}\psi - \psi\partial_{x}^{2}\psi^{*} em uma derivada espacial total, o que conduz à equação de continuidade.
Observe que a derivada espacial do seguinte objeto é
\partial_{x}\big(\psi^{*}\partial_{x}\psi - \psi\partial_{x}\psi^{*}\big) = \psi^{*}\partial_{x}^{2}\psi + (\partial_{x}\psi^{*})(\partial_{x}\psi) - \psi\partial_{x}^{2}\psi^{*} - (\partial_{x}\psi)(\partial_{x}\psi^{*}).
Os termos mistos (\partial_{x}\psi^{*})(\partial_{x}\psi) e -(\partial_{x}\psi)(\partial_{x}\psi^{*}) cancelam, restando exatamente
\partial_{x}\big(\psi^{*}\partial_{x}\psi - \psi\partial_{x}\psi^{*}\big) = \psi^{*}\partial_{x}^{2}\psi - \psi\partial_{x}^{2}\psi^{*}.
Portanto a expressão da Passo 4 pode ser escrita como
\partial_{t}\rho = -\frac{\hbar}{2mi}\,\partial_{x}\big(\psi^{*}\partial_{x}\psi - \psi\partial_{x}\psi^{*}\big).
Agora definimos a corrente de probabilidade j(x,t) pela relação que coloca isto na forma padrão da equação de continuidade:
\partial_{t}\rho + \partial_{x}j = 0.
Comparando, obtemos
j(x,t) = \frac{\hbar}{2mi}\,\big(\psi^{*}\partial_{x}\psi - \psi\partial_{x}\psi^{*}\big).
Isso conclui a demonstração de que \rho satisfaz a equação de continuidade e fornece a expressão de j.

Passo 6

Apresentar formas alternativas e interpretar a expressão de j.
A expressão acima pode ser reescrita em termos da parte imaginária. Note que, para qualquer número complexo z,
\Im(z) = \frac{1}{2i}(z - z^{*}).
Tomando z = \psi^{*}\partial_{x}\psi nota-se que z^{*} = \psi\partial_{x}\psi^{*}. Assim
j(x,t) = \frac{\hbar}{m}\,\Im\big(\psi^{*}\partial_{x}\psi\big).
Interpretação física simples (em linguagem leve): a corrente de probabilidade mede o “fluxo” de probabilidade pelo espaço. Para um pacote de onda a corrente local é a densidade de probabilidade vezes a velocidade local; para uma onda livre monótona, veremos isso explicitamente no exemplo da onda plana.

Passo 7

Calcular j(x,t) para uma onda plana \psi(x,t)=A\,e^{i(kx-\omega t)} (mostrar contas passo a passo).
Considere a onda plana
\psi(x,t)=A\,e^{i(kx-\omega t)},
onde A pode ser complexo (mais frequentemente escolhido tal que |A|^{2} seja a densidade de probabilidade constante). Primeiro calcule a derivada espacial:
\partial_{x}\psi = i k A\,e^{i(kx-\omega t)} = i k \psi.
O conjugado complexo é
\psi^{*} = A^{*}\,e^{-i(kx-\omega t)}, \qquad \partial_{x}\psi^{*} = -i k \psi^{*}.
Agora calcule a combinação que aparece em j:
\psi^{*}\partial_{x}\psi - \psi\partial_{x}\psi^{*} = \psi^{*}(i k \psi) - \psi(-i k \psi^{*}) = i k |\psi|^{2} + i k |\psi|^{2} = 2 i k |\psi|^{2}.
Substituindo em j:
j = \frac{\hbar}{2mi}\,(2 i k |\psi|^{2}) = \frac{\hbar k}{m}\,|\psi|^{2}.
Como |\psi|^{2}=|A|^{2} é constante para a onda plana, temos o resultado final
j = \frac{\hbar k}{m}\,|A|^{2}.
Note a interpretação: o momento associado à onda é p=\hbar k, então \dfrac{\hbar k}{m} é a velocidade clássica p/m; assim j é densidade de probabilidade vezes velocidade, como esperado.

Resposta

(a) \partial_{t}\rho(x,t) + \partial_{x}j(x,t) = 0.
(b) j(x,t) = \dfrac{\hbar}{2mi}\big(\psi^{*}\partial_{x}\psi - \psi\partial_{x}\psi^{*}\big) = \dfrac{\hbar}{m}\Im\big(\psi^{*}\partial_{x}\psi\big).
(c) Para \psi(x,t)=A\,e^{i(kx-\omega t)}, j = \dfrac{\hbar k}{m}\,|A|^{2}.

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