Problema 2. Considere uma função de onda
que satisfaz a equação de Schrödinger unidimensional com potencial real
.
a) Mostre que a densidade de probabilidade
satisfaz uma equação de continuidade.
b) Obtenha a expressão da corrente de probabilidade
.
c) Calcule
para uma onda plana.
a) Mostre que a densidade de probabilidade
b) Obtenha a expressão da corrente de probabilidade
c) Calcule
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e nos dá uma condição importante:
- Pede (a) mostrar que a densidade de probabilidade
satisfaz uma equação de continuidade. - Pede (b) obter a expressão da corrente de probabilidade
. - Pede (c) calcular
para uma onda plana.
Informação dada (pegar do enunciado):
- A função de onda
satisfaz a equação de Schrödinger unidimensional com potencial real . Explicitamente, a equação é
- O potencial
é real (isso será usado quando tomarmos o conjugado complexo).
Passo 2
Definir a densidade de probabilidade e calcular sua derivada temporal usando a regra do produto (explicando passo a passo).
A densidade de probabilidade é
A derivada temporal parcial usa a regra do produto:
Aqui
denota
. Isso é apenas a regra básica de diferenciação de um produto de duas funções dependentes de
.
Passo 3
Substituir
e
usando a equação de Schrödinger e sua conjugada (mostrando cada passo).
A equação de Schrödinger dada é
Tomando o conjugado complexo dessa equação (lembre:
e
é real, então
), obtemos
Agora isolamos
e
:
Essas expressões substituem os termos na fórmula de
.
Passo 4
Fazer a substituição em
e simplificar, mostrando que termos com
se cancelam (por isso usamos
real) e chegar a uma forma com derivadas espaciais.
Substituindo:
Colocando em evidência
e separando os termos:
Os termos com
são iguais e com sinais opostos, logo se cancelam:
Fica então
Aqui usei
.
Passo 5
Transformar a combinação
em uma derivada espacial total, o que conduz à equação de continuidade.
Observe que a derivada espacial do seguinte objeto é
Os termos mistos
e
cancelam, restando exatamente
Portanto a expressão da Passo 4 pode ser escrita como
Agora definimos a corrente de probabilidade
pela relação que coloca isto na forma padrão da equação de continuidade:
Comparando, obtemos
Isso conclui a demonstração de que
satisfaz a equação de continuidade e fornece a expressão de
.
Passo 6
Apresentar formas alternativas e interpretar a expressão de
.
A expressão acima pode ser reescrita em termos da parte imaginária. Note que, para qualquer número complexo
,
Tomando
nota-se que
. Assim
Interpretação física simples (em linguagem leve): a corrente de probabilidade mede o “fluxo” de probabilidade pelo espaço. Para um pacote de onda a corrente local é a densidade de probabilidade vezes a velocidade local; para uma onda livre monótona, veremos isso explicitamente no exemplo da onda plana.
Passo 7
Calcular
para uma onda plana
(mostrar contas passo a passo).
Considere a onda plana
onde
pode ser complexo (mais frequentemente escolhido tal que
seja a densidade de probabilidade constante). Primeiro calcule a derivada espacial:
O conjugado complexo é
Agora calcule a combinação que aparece em
:
Substituindo em
:
Como
é constante para a onda plana, temos o resultado final
Note a interpretação: o momento associado à onda é
, então
é a velocidade clássica
; assim
é densidade de probabilidade vezes velocidade, como esperado.
Resposta
(a)
(b)
(c) Para ,
(b)
(c) Para