Problema 1. Considere uma partícula de massa m em uma dimensão, sujeita a V(x)=0.
Escreva a equação de Schrödinger dependente do tempo e verifique que a função
\psi(x, t)=A e^{i(k x-\omega t)}
é solução da equação de Schrödinger.

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Uma partícula de massa m em uma dimensão.
  • Potencial V(x)=0.
  • Uma função candidata
\psi(x,t)=A e^{i(kx-\omega t)},
onde A, k e \omega são constantes (podem ser complexas, mas normalmente A é amplitude complexa e k,\omega reais).
O que o enunciado pede:
  • Escrever a equação de Schrödinger dependente do tempo para este caso.
  • Verificar que a função \psi(x,t) é solução dessa equação (ou seja, mostrar que, ao substituí-la, a igualdade da equação fica satisfeita), encontrando a relação entre \omega e k necessária para isso.

Passo 2

Escrever a equação de Schrödinger dependente do tempo (em uma dimensão) e explicar os símbolos.
A equação geral é
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t).
Aqui:
  • i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1).
  • \hbar é a constante de Planck reduzida.
  • m é a massa da partícula.
  • \partial/\partial t e \partial^{2}/\partial x^{2} são derivadas parciais em relação a t e x.
    Como V(x)=0 no enunciado, a equação simplifica para
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi(x,t).

Passo 3

Calcular a derivada temporal de \psi(x,t).
Usar a regra da cadeia: a derivada de e^{u(t)} é u'(t)e^{u(t)}.
\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = A\frac{\partial}{\partial t}e^{i(kx-\omega t)} = A e^{i(kx-\omega t)}\cdot i\bigl(-\omega\bigr) = -i\omega\,A e^{i(kx-\omega t)}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = -i\omega\,\psi(x,t).
Multiplicando por i\hbar (o lado esquerdo da equação de Schrödinger),
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = i\hbar\bigl(-i\omega\bigr)\psi(x,t).
Como i(-i)=1, isso simplifica para
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = \hbar\omega\,\psi(x,t).

Passo 4

Calcular a segunda derivada espacial de \psi(x,t).
Primeiro a derivada primeira:
\frac{\partial}{\partial x}\psi(x,t) = A\frac{\partial}{\partial x}e^{i(kx-\omega t)} = A e^{i(kx-\omega t)}\cdot i k = i k\,\psi(x,t).
Agora a segunda derivada:
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi(x,t) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(i k\,\psi(x,t)\bigr) = i k \cdot \frac{\partial}{\partial x}\psi(x,t) = i k \cdot (i k)\,\psi(x,t) = (i k)^{2}\psi(x,t).
Como (i k)^{2} = i^{2} k^{2} = -k^{2}, obtemos
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi(x,t) = -k^{2}\,\psi(x,t).
Então o termo do lado direito da Schrödinger vale
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi(x,t) = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\bigl(-k^{2}\psi(x,t)\bigr) = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\,\psi(x,t).

Passo 5

Comparar os dois lados da equação depois de substituir as derivadas:
LHS (lado esquerdo) que encontramos no Passo 3:
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = \hbar\omega\,\psi(x,t).
RHS (lado direito) do Passo 4:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi(x,t) = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\,\psi(x,t).
Para que a equação seja satisfeita por \psi devemos ter LHS = RHS, ou seja
\hbar\omega\,\psi(x,t) = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\,\psi(x,t).
Se \psi não for a função nula (ou seja, A\neq0), podemos cancelar \psi(x,t) em ambos os lados e obter a relação
\hbar\omega = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}.
Isolando \omega,
\omega = \frac{\hbar k^{2}}{2m}.
Portanto, para esse valor de \omega a função \psi(x,t)=A e^{i(kx-\omega t)} satisfaz exatamente a equação de Schrödinger com V(x)=0.

Passo 6

Interpretações rápidas e observações úteis para a prova:
  • Definindo a energia E=\hbar\omega e o momento p=\hbar k, a relação anterior vira a relação de energia cinética clássica
E = \frac{p^{2}}{2m}.
  • A onda dada é uma onda plana (autofunção de momento) com momento bem definido p=\hbar k e energia E=\hbar\omega.
  • Observação prática: ondas planas A e^{i(kx-\omega t)} não são normalizáveis em todo o espaço (sua probabilidade não é integrável), mas são usadas como estados de momento ideais; em problemas de prova é suficiente mostrar que satisfazem a equação e dar a relação de dispersão encontrada.
  • A é uma constante de amplitude (pode ser escolhida conforme normalização em um volume finito, ou vista como amplitude arbitrária).

Resposta

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi(x,t)
A função \psi(x,t)=A e^{i(kx-\omega t)} é solução dessa equação desde que
\omega = \frac{\hbar k^{2}}{2m},
ou equivalentemente E=\hbar\omega=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}=\dfrac{p^{2}}{2m} com p=\hbar k.

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