Problema 1. Considere uma partícula de massa
em uma dimensão, sujeita a
.
Escreva a equação de Schrödinger dependente do tempo e verifique que a função
é solução da equação de Schrödinger.
Escreva a equação de Schrödinger dependente do tempo e verifique que a função
Passo 1
O que o enunciado dá:
- Uma partícula de massa
em uma dimensão. - Potencial
. - Uma função candidata
onde
,
e
são constantes (podem ser complexas, mas normalmente
é amplitude complexa e
reais).
O que o enunciado pede:
- Escrever a equação de Schrödinger dependente do tempo para este caso.
- Verificar que a função
é solução dessa equação (ou seja, mostrar que, ao substituí-la, a igualdade da equação fica satisfeita), encontrando a relação entre e necessária para isso.
Passo 2
Escrever a equação de Schrödinger dependente do tempo (em uma dimensão) e explicar os símbolos.
A equação geral é
A equação geral é
Aqui:
-
é a unidade imaginária ( ). -
é a constante de Planck reduzida. -
é a massa da partícula. -
e são derivadas parciais em relação a e .
Comono enunciado, a equação simplifica para
Passo 3
Calcular a derivada temporal de
.
Usar a regra da cadeia: a derivada de é
.
Usar a regra da cadeia: a derivada de
Portanto
Multiplicando por
(o lado esquerdo da equação de Schrödinger),
Como
, isso simplifica para
Passo 4
Calcular a segunda derivada espacial de
.
Primeiro a derivada primeira:
Primeiro a derivada primeira:
Agora a segunda derivada:
Como
, obtemos
Então o termo do lado direito da Schrödinger vale
Passo 5
Comparar os dois lados da equação depois de substituir as derivadas:
LHS (lado esquerdo) que encontramos no Passo 3:
LHS (lado esquerdo) que encontramos no Passo 3:
RHS (lado direito) do Passo 4:
Para que a equação seja satisfeita por
devemos ter LHS = RHS, ou seja
Se
não for a função nula (ou seja,
), podemos cancelar
em ambos os lados e obter a relação
Isolando
,
Portanto, para esse valor de
a função
satisfaz exatamente a equação de Schrödinger com
.
Passo 6
Interpretações rápidas e observações úteis para a prova:
- Definindo a energia
e o momento , a relação anterior vira a relação de energia cinética clássica
- A onda dada é uma onda plana (autofunção de momento) com momento bem definido
e energia . - Observação prática: ondas planas
não são normalizáveis em todo o espaço (sua probabilidade não é integrável), mas são usadas como estados de momento ideais; em problemas de prova é suficiente mostrar que satisfazem a equação e dar a relação de dispersão encontrada. -
é uma constante de amplitude (pode ser escolhida conforme normalização em um volume finito, ou vista como amplitude arbitrária).
Resposta
A função
é solução dessa equação desde que
ou equivalentemente
com
.