Problema 4 Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] C=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{array}\right] D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right] E=\left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3\end{array}\right]
Em cada item, calcule a expressão dada, ou, caso contrário, explique por que ela não está definida.
A^{T}+C

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a expressão A^{T}+C.
Informações dadas (vou listar as matrizes e suas dimensões):
A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right],\quad\text{então }A\text{ tem dimensão }\(3\times 2\).
C=\left[\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\[4pt] 3 & 1 & 5\end{array}\right],\quad\text{então }C\text{ tem dimensão }\(2\times 3\).
Pergunta explícita: a soma A^{T}+C está bem definida? Se sim, calcular o resultado; se não, explicar por que não está definida.]

Passo 2

Conceito necessário — transposta de uma matriz: dada uma matriz A com entradas (A_{ij}), a transposta A^{T} é a matriz cujas entradas são (A^{T})_{ij}=A_{ji}. Em palavras: as linhas de A^{T} são as colunas de A (ou as colunas de A^{T} são as linhas de A).
Aplicando ao nosso caso, como A é 3\times 2, sua transposta A^{T} terá dimensão 2\times 3. Isso é importante porque só podemos somar matrizes de mesma dimensão.

Passo 3

Vamos calcular A^{T} retirando as colunas de A e transformando-as em linhas:
A primeira coluna de A é \begin{pmatrix}3\\\\ -1\\\\ 1\end{pmatrix}, que vira a primeira linha de A^{T}.
A segunda coluna de A é \begin{pmatrix}0\\\\ 2\\\\ 1\end{pmatrix}, que vira a segunda linha de A^{T}.
Portanto,
A^{T}=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 1\end{array}\right].]

Passo 4

Conceito necessário — soma de matrizes: duas matrizes X e Y podem ser somadas somente se tiverem a mesma dimensão. A soma é feita componente a componente:
(X+Y)_{ij}=X_{ij}+Y_{ij}.
Já verificamos que A^{T} tem dimensão 2\times 3 e a matriz C dada também tem dimensão 2\times 3. Logo a soma A^{T}+C está bem definida.

Passo 5

Vou calcular a soma elemento a elemento. Escrevo as entradas correspondentes e somo:
Primeira linha:
3+1=4,\qquad -1+4=3,\qquad 1+2=3.
Segunda linha:
0+3=3,\qquad 2+1=3,\qquad 1+5=6.
Então:
A^{T}+C=\left[\begin{array}{ccc}3+1 & -1+4 & 1+2 \\[4pt] 0+3 & 2+1 & 1+5\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}4 & 3 & 3 \\[4pt] 3 & 3 & 6\end{array}\right].]

Passo 6

Resumo final: a soma está definida porque ambas as matrizes têm dimensão 2\times 3, e o resultado da soma é a matriz calculada acima.

Resposta

\left[\begin{array}{ccc}4 & 3 & 3 \\[4pt] 3 & 3 & 6\end{array}\right]]

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