Um vetor \vec{A} possui módulo de 6 unidades e está contido no eixo +O x, com origem em O , sentido positivo. Outro vetor \vec{B} possui 4 unidades está contido no plano x y, formando um ângulo de 30^{\circ} \mathrm{com}+O x. Determine o produto vetorial \vec{A} \times \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no espaço tridimensional e pede o produto vetorial \vec A\times\vec B. O conteúdo aqui é o conceito de produto vetorial, que gera um vetor perpendicular ao plano dos dois vetores dados, com módulo \|\vec A\times\vec B\| = \|\vec A\|\;\|\vec B\|\sin\varphi (onde \varphi é o ângulo entre eles) e direção determinada pela regra da mão direita.

Passo 2

Expressamos \vec A e \vec B em componentes cartesianas. Como \vec A tem módulo 6 e está alinhado com o eixo +Ox,
\vec A = 6\,\hat\imath.
O vetor \vec B tem módulo 4 no plano xy, formando ângulo de 30^\circ com +Ox. Logo,
\vec B = 4\bigl(\cos30^\circ\,\hat\imath + \sin30^\circ\,\hat\jmath\bigr) = 4\Bigl(\frac{\sqrt3}{2}\hat\imath + \frac12\hat\jmath\Bigr) = 2\sqrt3\,\hat\imath + 2\,\hat\jmath.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial usando o determinante
\vec A \times \vec B = \begin{vmatrix} \hat\imath & \hat\jmath & \hat k\\\\ 6 & 0 & 0\\\\ 2\sqrt3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \bigl(6\cdot0 - 0\cdot2\bigr)\hat\imath - \bigl(6\cdot0 - 0\cdot2\sqrt3\bigr)\hat\jmath + \bigl(6\cdot2 - 0\cdot2\sqrt3\bigr)\hat k = 12\,\hat k.

Resposta

\vec A \times \vec B = 12\,\hat k

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