Problema de retas tangentes: Encontre a equação da reta tangente à curva y=2 x^2+3 x-1 no ponto x=1.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva y=2x^2+3x-1 no ponto em que x=1. Para isso precisamos de dois ingredientes: o coeficiente angular da reta, dado por f'(1), e o ponto de tangência (1,f(1)). A partir daí usamos a fórmula ponto-declive da reta.

Passo 2

Para achar o coeficiente angular, calculamos a derivada de f(x)=2x^2+3x-1. A derivada é
f'(x)=4x+3
Avaliando em x=1, obtemos
f'(1)=4cdot1+3=7

Passo 3

Agora encontramos a ordenada do ponto de tangência substituindo x=1 em f(x):
f(1)=2cdot1^2+3cdot1-1=4
Portanto o ponto de tangência é (1,4).

Passo 4

A equação da reta com declive m que passa por (x0,y0) é
y-y0=m(x-x0)
Aqui m=7, x0=1 e y0=4, logo
y-4=7(x-1)
Desenvolvendo,
y=7x-7+4=7x-3

Resposta

A equação da reta tangente é y=7x-3.

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