Problema 7 Dada a EDO linear
(a) Verifique que as funções
e
satisfazem essa EDO dada
.
(b) Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.
(b) Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem
e as três funções
As perguntas são:
(a) Verificar que cada uma de satisfaz a EDO em
.
(b) Usar o princípio da superposição para exibir pelo menos duas soluções diferentes das soluções dadas (ou seja, dar duas soluções que não sejam exatamente isoladas).
(a) Verificar que cada uma de
(b) Usar o princípio da superposição para exibir pelo menos duas soluções diferentes das soluções dadas (ou seja, dar duas soluções que não sejam exatamente
Informações relevantes dadas: a própria EDO linear homogênea e as três funções exponenciais indicadas.
Passo 2
Ideia e ferramenta para verificar (a): se temos uma função da forma
com
constante, então suas derivadas são fáceis de escrever:
Se substituirmos essas derivadas na esquerda da EDO, obtemos um fator comum
multiplicando um polinômio em
. Definimos o polinômio característico
A observação-chave é: para
,
Portanto,
é solução da EDO se, e somente se,
. Isso reduz a verificação a calcular
para
.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
em
,
Agora faça as somas/subtrações passo a passo:
,
,
. Logo
Pelo raciocínio do passo anterior, isso implica que
satisfaz a EDO, pois a multiplicação por
dá zero:
Passo 4
Calcular
. Substituindo
,
Agora passo a passo:
,
,
. Portanto
e assim
também satisfaz a EDO:
Passo 5
Calcular
. Substituindo
,
Passo a passo:
,
,
. Logo
e portanto
também satisfaz a EDO:
Passo 6
Conclusão da parte (a): como
, cada exponencial dada gera zero quando aplicada o operador linear
. Assim
são soluções em todo
.
Agora preparar a ferramenta para (b): explicar o princípio da superposição. Um operador diferencial linear
(como o nosso) satisfaz
para quaisquer constantes
e quaisquer funções
suficientemente diferenciáveis. Em particular, se
e
, então
. Ou seja: qualquer combinação linear de soluções é também solução. Este é o princípio da superposição para EDOs lineares homogêneas.
Passo 7
Aplicando o princípio da superposição para construir soluções novas (parte (b)):
Exemplo 1: escolha constantes
e
e use
e
. Defina
Pelo passo anterior,
logo
é solução. Observe que
não é igual a nenhuma das soluções individuais
(é uma combinação delas), então é uma solução diferente.
Exemplo 2: escolha
e
com
e
. Defina
Novamente, por linearidade,
logo
é solução e é diferente das soluções individuais dadas.
Passo 8
Comentário final útil para a prova (resumo prático): como as raízes do polinômio característico
são
distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear de três exponenciais independentes:
onde
são constantes reais. Assim qualquer escolha de constantes não todas nulas dá uma solução; os dois exemplos dados são apenas escolhas particulares.
Resposta
(a) As três funções
,
e
satisfazem a EDO, pois
com
.\n
(b) Dois exemplos de soluções diferentes das dadas: e
.
(b) Dois exemplos de soluções diferentes das dadas: