Problema 7 Dada a EDO linear
y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0 .
(a) Verifique que as funções y_{1}(x)=e^{x}, y_{2}(x)=e^{2 x} e y_{3}(x)=e^{3 x} satisfazem essa EDO dada (-\infty, \infty).
(b) Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem
y^{\prime\prime\prime}-6y^{\prime\prime}+11y^{\prime}-6y=0
e as três funções
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=e^{2x},\qquad y_{3}(x)=e^{3x}.
As perguntas são:
(a) Verificar que cada uma de y_{1},y_{2},y_{3} satisfaz a EDO em (-\infty,\infty).
(b) Usar o princípio da superposição para exibir pelo menos duas soluções diferentes das soluções dadas (ou seja, dar duas soluções que não sejam exatamente y_{1},y_{2},y_{3} isoladas).
Informações relevantes dadas: a própria EDO linear homogênea e as três funções exponenciais indicadas.

Passo 2

Ideia e ferramenta para verificar (a): se temos uma função da forma y(x)=e^{k x} com k constante, então suas derivadas são fáceis de escrever:
y(x)=e^{k x},\quad y'(x)=k e^{k x},\quad y''(x)=k^{2} e^{k x},\quad y'''(x)=k^{3} e^{k x}.
Se substituirmos essas derivadas na esquerda da EDO, obtemos um fator comum e^{k x} multiplicando um polinômio em k. Definimos o polinômio característico
P(k)=k^{3}-6k^{2}+11k-6.
A observação-chave é: para y(x)=e^{k x},
y'''-6y''+11y'-6y = \bigl(k^{3}-6k^{2}+11k-6\bigr)\,e^{k x} = P(k)\,e^{k x}.
Portanto, y=e^{k x} é solução da EDO se, e somente se, P(k)=0. Isso reduz a verificação a calcular P(k) para k=1,2,3.

Passo 3

Calcular P(1). Substituindo k=1 em P(k),
P(1)=1^{3}-6\cdot1^{2}+11\cdot1-6=1-6+11-6.
Agora faça as somas/subtrações passo a passo: 1-6=-5, -5+11=6, 6-6=0. Logo
P(1)=0.
Pelo raciocínio do passo anterior, isso implica que y_{1}(x)=e^{x} satisfaz a EDO, pois a multiplicação por e^{x} dá zero:
y_{1}'''-6y_{1}''+11y_{1}'-6y_{1}=P(1)e^{1\cdot x}=0.

Passo 4

Calcular P(2). Substituindo k=2,
P(2)=2^{3}-6\cdot2^{2}+11\cdot2-6=8-24+22-6.
Agora passo a passo: 8-24=-16, -16+22=6, 6-6=0. Portanto
P(2)=0,
e assim y_{2}(x)=e^{2x} também satisfaz a EDO:
y_{2}'''-6y_{2}''+11y_{2}'-6y_{2}=P(2)e^{2x}=0.

Passo 5

Calcular P(3). Substituindo k=3,
P(3)=3^{3}-6\cdot3^{2}+11\cdot3-6=27-54+33-6.
Passo a passo: 27-54=-27, -27+33=6, 6-6=0. Logo
P(3)=0,
e portanto y_{3}(x)=e^{3x} também satisfaz a EDO:
y_{3}'''-6y_{3}''+11y_{3}'-6y_{3}=P(3)e^{3x}=0.

Passo 6

Conclusão da parte (a): como P(1)=P(2)=P(3)=0, cada exponencial dada gera zero quando aplicada o operador linear L[y]=y'''-6y''+11y'-6y. Assim y_{1},y_{2},y_{3} são soluções em todo (-\infty,\infty).
Agora preparar a ferramenta para (b): explicar o princípio da superposição. Um operador diferencial linear L (como o nosso) satisfaz
L\bigl(c_{1}y^{(1)}+c_{2}y^{(2)}\bigr)=c_{1}L\bigl(y^{(1)}\bigr)+c_{2}L\bigl(y^{(2)}\bigr)
para quaisquer constantes c_{1},c_{2} e quaisquer funções y^{(1)},y^{(2)} suficientemente diferenciáveis. Em particular, se L(y^{(1)})=0 e L(y^{(2)})=0, então L(c_{1}y^{(1)}+c_{2}y^{(2)})=0. Ou seja: qualquer combinação linear de soluções é também solução. Este é o princípio da superposição para EDOs lineares homogêneas.

Passo 7

Aplicando o princípio da superposição para construir soluções novas (parte (b)):
Exemplo 1: escolha constantes c_{1}=1 e c_{2}=1 e use y_{1} e y_{2}. Defina
y^{(4)}(x)=e^{x}+e^{2x}.
Pelo passo anterior,
L\bigl(y^{(4)}\bigr)=L(e^{x})+L(e^{2x})=0+0=0,
logo y^{(4)} é solução. Observe que y^{(4)} não é igual a nenhuma das soluções individuais y_{1},y_{2},y_{3} (é uma combinação delas), então é uma solução diferente.
Exemplo 2: escolha c_{2}=2 e c_{3}=-5 com y_{2} e y_{3}. Defina
y^{(5)}(x)=2e^{2x}-5e^{3x}.
Novamente, por linearidade,
L\bigl(y^{(5)}\bigr)=2L(e^{2x})-5L(e^{3x})=2\cdot0-5\cdot0=0,
logo y^{(5)} é solução e é diferente das soluções individuais dadas.

Passo 8

Comentário final útil para a prova (resumo prático): como as raízes do polinômio característico P(k) são k=1,2,3 distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear de três exponenciais independentes:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes reais. Assim qualquer escolha de constantes não todas nulas dá uma solução; os dois exemplos dados são apenas escolhas particulares.

Resposta

(a) As três funções y_{1}(x)=e^{x}, y_{2}(x)=e^{2x} e y_{3}(x)=e^{3x} satisfazem a EDO, pois P(1)=P(2)=P(3)=0 com P(k)=k^{3}-6k^{2}+11k-6.\n
(b) Dois exemplos de soluções diferentes das dadas: y(x)=e^{x}+e^{2x} e y(x)=2e^{2x}-5e^{3x}.

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