Problema 5 Discuta a existência e a unicidade de soluções para o seguinte PVI:
Passo 1
O enunciado pede para discutir existência e unicidade de soluções do problema de valor inicial (PVI)
ou seja:
- qual é a equação diferencial linear e quais são as condições iniciais dadas;
- para que valores de
existe e é única a solução que satisfaz essas condições iniciais.
As informações importantes do enunciado são exatamente a equação linear de terceira ordem com coeficientes dependentes dee o ponto inicial onde são impostas as três condições iniciais.
Passo 2
Princípio teórico que vamos usar (explicado didaticamente). Considere uma equação linear de ordem
A versão clássica do teorema de existência e unicidade para equações lineares diz: se os coeficientes
e o termo
são contínuos num intervalo
e se o coeficiente líder
não se anula em
(isto é,
para todo
), então, para qualquer ponto
e para quaisquer condicionantes iniciais
, existe um único solução definida em todo
.
Explicação do porquê: precisamos poder dividir a equação por para pôr na forma normal
Explicação do porquê: precisamos poder dividir a equação por
com os
contínuos; se
não podemos garantir essa divisão e a teoria padrão falha naquele ponto.
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão e checar continuidade dos coeficientes quando possível. Dividindo a equação dada por
(supondo momentaneamente
) obtemos
Aqui os coeficientes são
Esses
são funções contínuas em qualquer intervalo que não contenha
(por exemplo
ou
), porque os únicos pontos onde surgem singularidades são
. Portanto, se
existe um intervalo aberto
contendo
que não contém
; nessas condições todos os coeficientes são contínuos em
e o coeficiente líder
é distinto de zero em
. Pelo teorema do passo anterior, para
o PVI tem existência e unicidade local (e, de fato, global em qualquer intervalo conexo que não contenha
). Em palavras mais diretas:
- Se
então existe uma única solução que satisfaz definida numa vizinhança de que não contém .
Passo 4
Análise do caso
(o ponto singular). Se
o coeficiente líder
se anula no ponto inicial, logo não podemos dividir por
nem aplicar diretamente o teorema de existência/unicidade usado acima. Isso significa que
é um ponto singular da equação. Vamos caracterizar a natureza desse ponto e ver se ainda é possível dizer algo concreto.
Para verificar se é um singular regular, verificamos os produtos
:
Como essas quantidades são analíticas em
, o ponto
é um ponto singular regular para a equação de 3ª ordem. Para pontos singulares regulares podemos usar o método de Frobenius (ideia: procurar soluções do tipo
ou séries em potências de
com expoente inicial
).
Fazendo a tentativa
com
constante (a parte essencial do método de Frobenius para achar o polinômio indicial), calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original obtemos (fator
comum)
Logo o polinômio indicial (coeficiente entre colchetes) é
Simplificando chega-se a
Este polinômio tem uma raiz evidente
(verificando:
). Fatorando obtemos
e as demais raízes são
Como as três raízes são distintas (e não diferem por inteiro), o método de Frobenius nos garante a existência de três soluções linearmente independentes de forma
(mais precisamente, cada uma possivelmente multiplicada por uma série em potências inteiras de
, mas aqui as potências puras
já satisfazem a equação porque testamos exatamente com potências). Assim perto de
a solução geral é
Observações sobre inicialização em
: as duas últimas potências têm expoentes que não são inteiros; um deles é negativo? Note que
, que é negativo, portanto
diverge quando
e suas derivadas de ordem suficiente também não são finitas em
. Por isso, ao tentar impor valores finitos arbitrários para
pode não existir nenhuma combinação de
que produza esses valores (porque algumas combinações forçariam divergência) — ou seja, nem sempre existe solução que satisfaça dados iniciais arbitrários em
, e mesmo quando existe a correspondência entre
e
pode não ser única. Portanto:
- em
a teoria padrão não garante existência e unicidade para um PVI com dados arbitrários; devemos restringir os dados iniciais àqueles compatíveis com a forma das soluções em série. Em particular, há soluções bem comportadas (por exemplo é solução e dá ), mas não é verdade que para todo triplo haverá uma única solução.
Passo 5
Resumo final e resposta direta (o que você deve escrever na prova):
- Se
: os coeficientes após dividir por são contínuos num intervalo que contém e o coeficiente líder não se anula nesse intervalo; pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares de ordem existe uma única solução do PVI definida numa vizinhança de . A existência/unicidade vale em qualquer intervalo conexo que não contenha (por exemplo ou ).\n - Se
: é um ponto singular regular; o teorema clássico não se aplica e não se pode garantir existência e unicidade para dados iniciais arbitrários em . Pela análise de Frobenius a solução geral perto de tem a forma
portanto apenas condicionantes iniciais compatíveis com essa forma (consistentes com as singularidades/regularidade das potências) podem ser satisfeitas; para dados arbitrários em
pode não existir solução ou a correspondência pode falhar quanto à unicidade.
Resposta
Se
: existe uma única solução do PVI numa vizinhança de
.\n
Se : o ponto
é singular regular; o teorema padrão não garante existência/unicidade para dados arbitrários em
. A solução geral perto de
é
, logo apenas dados iniciais compatíveis com essa forma podem ser atendidos.
Se