Problema 5 Discuta a existência e a unicidade de soluções para o seguinte PVI:
\left\{\begin{array}{rcc} x^{3} y^{\prime \prime \prime}-x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y & = & 0 \\\ y\left(x_{0}\right)=y_{0}, y^{\prime}\left(x_{0}\right) & = & y_{1}, y^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=y_{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para discutir existência e unicidade de soluções do problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{rcl} x^{3} y^{\prime \prime \prime}-x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y & = & 0,\\\ y\left(x_{0}\right)=y_{0},\quad y^{\prime}\left(x_{0}\right)=y_{1},\quad y^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=y_{2}, \end{array}\right.
ou seja:
  • qual é a equação diferencial linear e quais são as condições iniciais dadas;
  • para que valores de x_{0} existe e é única a solução que satisfaz essas condições iniciais.
    As informações importantes do enunciado são exatamente a equação linear de terceira ordem com coeficientes dependentes de x e o ponto inicial x_{0} onde são impostas as três condições iniciais.

Passo 2

Princípio teórico que vamos usar (explicado didaticamente). Considere uma equação linear de ordem n
a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + a_0(x) y = g(x).
A versão clássica do teorema de existência e unicidade para equações lineares diz: se os coeficientes a_n,a_{n-1},\dots,a_0 e o termo g são contínuos num intervalo I e se o coeficiente líder a_n(x) não se anula em I (isto é, a_n(x)\neq0 para todo x\in I), então, para qualquer ponto x_0\in I e para quaisquer condicionantes iniciais y(x_0),y'(x_0),\dots,y^{(n-1)}(x_0), existe um único solução definida em todo I.
Explicação do porquê: precisamos poder dividir a equação por a_n(x) para pôr na forma normal
y^{(n)} + p_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + p_0(x) y = q(x)
com os p_j,q contínuos; se a_n(x_0)=0 não podemos garantir essa divisão e a teoria padrão falha naquele ponto.

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão e checar continuidade dos coeficientes quando possível. Dividindo a equação dada por x^{3} (supondo momentaneamente x\neq0) obtemos
y^{\prime\prime\prime} - \frac{1}{x} y^{\prime\prime} - \frac{2}{x^{2}} y^{\prime} + \frac{2}{x^{3}} y = 0.
Aqui os coeficientes são
p_{2}(x) = -\frac{1}{x},\qquad p_{1}(x) = -\frac{2}{x^{2}},\qquad p_{0}(x)=\frac{2}{x^{3}}.
Esses p_j(x) são funções contínuas em qualquer intervalo que não contenha x=0 (por exemplo (0,\infty) ou (-\infty,0)), porque os únicos pontos onde surgem singularidades são x=0. Portanto, se x_{0}\neq 0 existe um intervalo aberto I contendo x_{0} que não contém 0; nessas condições todos os coeficientes são contínuos em I e o coeficiente líder x^{3} é distinto de zero em I. Pelo teorema do passo anterior, para x_{0}\neq 0 o PVI tem existência e unicidade local (e, de fato, global em qualquer intervalo conexo que não contenha 0). Em palavras mais diretas:
  • Se x_{0}\neq 0 então existe uma única solução que satisfaz y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y_{1},y''(x_{0})=y_{2} definida numa vizinhança de x_{0} que não contém 0.

Passo 4

Análise do caso x_{0}=0 (o ponto singular). Se x_{0}=0 o coeficiente líder x^{3} se anula no ponto inicial, logo não podemos dividir por x^{3} nem aplicar diretamente o teorema de existência/unicidade usado acima. Isso significa que x=0 é um ponto singular da equação. Vamos caracterizar a natureza desse ponto e ver se ainda é possível dizer algo concreto.
Para verificar se é um singular regular, verificamos os produtos (x-0)^{k} p_{j}(x):
x\cdot p_{2}(x)=x\left(-\frac{1}{x}\right)=-1 \quad(\text{analítica em }0),í
x^{2}\cdot p_{1}(x)=x^{2}\left(-\frac{2}{x^{2}}\right)=-2 \quad(\text{analítica em }0),í
x^{3}\cdot p_{0}(x)=x^{3}\left(\frac{2}{x^{3}}\right)=2 \quad(\text{analítica em }0).í
Como essas quantidades são analíticas em 0, o ponto x=0 é um ponto singular regular para a equação de 3ª ordem. Para pontos singulares regulares podemos usar o método de Frobenius (ideia: procurar soluções do tipo y=x^{m} ou séries em potências de x com expoente inicial m).
Fazendo a tentativa y(x)=x^{m} com m constante (a parte essencial do método de Frobenius para achar o polinômio indicial), calculamos as derivadas:
y'=m x^{m-1},\quad y''=m(m-1)x^{m-2},\quad y'''=m(m-1)(m-2)x^{m-3}.
Substituindo na equação original obtemos (fator x^{m} comum)
\bigl[m(m-1)(m-2) - m(m-1) - 2m + 2\bigr] x^{m} = 0.
Logo o polinômio indicial (coeficiente entre colchetes) é
m(m-1)(m-2) - m(m-1) - 2m + 2 = 0.
Simplificando chega-se a
m^{3} - 4m^{2} + m + 2 = 0.
Este polinômio tem uma raiz evidente m=1 (verificando: 1-4+1+2=0). Fatorando obtemos
(m-1)\bigl(m^{2}-3m-2\bigr)=0,
e as demais raízes são
m = \frac{3\pm\sqrt{17}}{2}.
Como as três raízes são distintas (e não diferem por inteiro), o método de Frobenius nos garante a existência de três soluções linearmente independentes de forma
y_{1}(x)=x^{1},\qquad y_{2}(x)=x^{\frac{3+\sqrt{17}}{2}},\qquad y_{3}(x)=x^{\frac{3-\sqrt{17}}{2}}
(mais precisamente, cada uma possivelmente multiplicada por uma série em potências inteiras de x, mas aqui as potências puras x^{m} já satisfazem a equação porque testamos exatamente com potências). Assim perto de x=0 a solução geral é
y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{\frac{3+\sqrt{17}}{2}} + C_{3}x^{\frac{3-\sqrt{17}}{2}}.
Observações sobre inicialização em x=0: as duas últimas potências têm expoentes que não são inteiros; um deles é negativo? Note que \frac{3-\sqrt{17}}{2}\approx -0,5615, que é negativo, portanto x^{\frac{3-\sqrt{17}}{2}} diverge quando x\to0 e suas derivadas de ordem suficiente também não são finitas em 0. Por isso, ao tentar impor valores finitos arbitrários para y(0),y'(0),y''(0) pode não existir nenhuma combinação de C_{1},C_{2},C_{3} que produza esses valores (porque algumas combinações forçariam divergência) — ou seja, nem sempre existe solução que satisfaça dados iniciais arbitrários em 0, e mesmo quando existe a correspondência entre (C_{1},C_{2},C_{3}) e (y_{0},y_{1},y_{2}) pode não ser única. Portanto:
  • em x_{0}=0 a teoria padrão não garante existência e unicidade para um PVI com dados arbitrários; devemos restringir os dados iniciais àqueles compatíveis com a forma das soluções em série. Em particular, há soluções bem comportadas (por exemplo y(x)=x é solução e dá y(0)=0,y'(0)=1,y''(0)=0), mas não é verdade que para todo triplo (y_{0},y_{1},y_{2}) haverá uma única solução.

Passo 5

Resumo final e resposta direta (o que você deve escrever na prova):
  • Se x_{0}\neq 0: os coeficientes após dividir por x^{3} são contínuos num intervalo que contém x_{0} e o coeficiente líder não se anula nesse intervalo; pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares de ordem 3 existe uma única solução do PVI definida numa vizinhança de x_{0}. A existência/unicidade vale em qualquer intervalo conexo que não contenha 0 (por exemplo (0,\infty) ou (-\infty,0)).\n
  • Se x_{0}=0: x=0 é um ponto singular regular; o teorema clássico não se aplica e não se pode garantir existência e unicidade para dados iniciais arbitrários em 0. Pela análise de Frobenius a solução geral perto de 0 tem a forma
y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{\frac{3+\sqrt{17}}{2}} + C_{3}x^{\frac{3-\sqrt{17}}{2}},
portanto apenas condicionantes iniciais compatíveis com essa forma (consistentes com as singularidades/regularidade das potências) podem ser satisfeitas; para dados arbitrários em 0 pode não existir solução ou a correspondência pode falhar quanto à unicidade.

Resposta

Se x_{0}\neq 0: existe uma única solução do PVI numa vizinhança de x_{0}.\n
Se x_{0}=0: o ponto 0 é singular regular; o teorema padrão não garante existência/unicidade para dados arbitrários em 0. A solução geral perto de 0 é y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{\frac{3+\sqrt{17}}{2}} + C_{3}x^{\frac{3-\sqrt{17}}{2}}, logo apenas dados iniciais compatíveis com essa forma podem ser atendidos.

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