Problema 4.4. Dados a, b e c inteiros quaisquer e m um inteiro maior do que 1 , mostre as seguintes afirmações:
(a) a equiv a bmod m.
(b) Se a equiv b bmod m, então b equiv a bmod m.
(c) Se a equiv b bmod m e b equiv c bmod m, então a equiv c bmod m.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a relação de congruência módulo m satisfaz três propriedades:
reflexividade (aequiv abmod m), simetria (aequiv bbmod mimplies bequiv abmod m) e transitividade (aequiv bbmod mland bequiv cbmod mimplies aequiv cbmod m).
Vamos usar a definição de congruência: dizemos que
aequiv bbmod m
se, e somente se,
mmid(a-b),
ou seja, existe inteiro k tal que a-b = km.

Passo 2

Propriedade (a) – reflexividade.
Tomemos a inteiro qualquer. Então
a-a = 0
Como qualquer inteiro maior que 1 divide 0 (isto é, existe k=0 tal que 0 = k,m), segue
mmid(a-a)
e, por definição,
aequiv abmod m

Passo 3

Propriedade (b) – simetria.
Suponha que
aequiv bbmod m,
isto é, mmid(a-b). Então existe inteiro k com
a-b = k,m
Multiplicando por -1 obtemos
b-a = (-k),m,
logo mmid(b-a) e, pela definição de congruência,
bequiv abmod m

Passo 4

Propriedade (c) – transitividade.
Suponha
aequiv bbmod m e bequiv cbmod m
Então existem inteiros k e ell tais que
a-b = k,m e b-c = ell,m
Somando essas iguais,
(a-b)+(b-c) = (k+ell),m ;Longrightarrow; a-c = (k+ell),m
Logo mmid(a-c) e
aequiv cbmod m

Resposta

As afirmações (a), (b) e (c) estão provadas, mostrando que a congruência módulo m é reflexiva, simétrica e transitiva.

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