Problema 4.4. Dados
e
inteiros quaisquer e
um inteiro maior do que 1 , mostre as seguintes afirmações:
(a)
.
(b) Se
, então
.
(c) Se
e
, então
.
(a)
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a relação de congruência módulo
satisfaz três propriedades:
reflexividade , simetria
e transitividade
.
Vamos usar a definição de congruência: dizemos que
reflexividade
Vamos usar a definição de congruência: dizemos que
se, e somente se,
ou seja, existe inteiro
tal que
.
Passo 2
Propriedade (a) – reflexividade.
Tomemos inteiro qualquer. Então
Tomemos
Como qualquer inteiro maior que 1 divide 0 (isto é, existe
tal que
), segue
e, por definição,
Passo 3
Propriedade (b) – simetria.
Suponha que
Suponha que
isto é,
. Então existe inteiro
com
Multiplicando por
obtemos
logo
e, pela definição de congruência,
Passo 4
Propriedade (c) – transitividade.
Suponha
Suponha
Então existem inteiros
e
tais que
Somando essas iguais,
Logo
e
Resposta
As afirmações (a), (b) e (c) estão provadas, mostrando que a congruência módulo
é reflexiva, simétrica e transitiva.