Problema 4.5. Sejam
um número inteiro qualquer e
um inteiro maior do que 1. Suponha que
seja um número inteiro tal que
e
. Mostre que
é o resto da divisão de
por
.
Passo 1
O enunciado afirma que temos inteiros
e
e um inteiro
tal que
O que queremos mostrar é que esse
coincide com o resto da divisão de
por
. Para isso vamos usar o Teorema da Divisão Euclidiana (existência e unicidade de quociente e resto) e a definição de congruência módulo
.
Passo 2
Da congruência
segue que
divide
. Assim existe um inteiro
tal que
Passo 3
Pelo Teorema da Divisão Euclidiana, existem únicos inteiros
e
que satisfazem
Esse
é, por definição, o resto da divisão de
por
.
Passo 4
Comparando as duas expressões de
, temos
Como
e
, a diferença
está em
. O único múltiplo de
nesse intervalo é zero. Logo
Passo 5
Concluímos que o inteiro
dado no enunciado coincide com o resto
da divisão euclidiana de
por
.
Resposta
O valor
é exatamente o resto da divisão de
por
.