Problema 4.5. Sejam a um número inteiro qualquer e m um inteiro maior do que 1. Suponha que r seja um número inteiro tal que 0 <= r<m e a equiv r bmod m. Mostre que r é o resto da divisão de a por m.

Passo 1

O enunciado afirma que temos inteiros a e m>1 e um inteiro r tal que
0 <= r < m e a equiv r pmod m
O que queremos mostrar é que esse r coincide com o resto da divisão de a por m. Para isso vamos usar o Teorema da Divisão Euclidiana (existência e unicidade de quociente e resto) e a definição de congruência módulo m.

Passo 2

Da congruência a equiv r pmod m segue que m divide a - r. Assim existe um inteiro k tal que
a - r = m,k Longrightarrow a = m,k + r

Passo 3

Pelo Teorema da Divisão Euclidiana, existem únicos inteiros q e s que satisfazem
a = m,q + s com 0 <= s < m
Esse s é, por definição, o resto da divisão de a por m.

Passo 4

Comparando as duas expressões de a, temos
m,k + r = m,q + s Longrightarrow r - s = m,(q - k)
Como 0 <= r < m e 0 <= s < m, a diferença r - s está em (-(m-1),,m-1). O único múltiplo de m nesse intervalo é zero. Logo
r - s = 0 Longrightarrow r = s

Passo 5

Concluímos que o inteiro r dado no enunciado coincide com o resto s da divisão euclidiana de a por m.

Resposta

O valor r é exatamente o resto da divisão de a por m.

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