Problema 8 Definimos o versor de um vetor não nulo, u, como sendo o vetor u|u|. Seja B=e1, e2, e3 uma base ortornormal de V^3.
(a) Se u=(-1,-2,-3)B encontre o versor de u.
(b) Se u=(1,2,3)B encontre o versor de u.
(c) Se u=(1,3,1)B encontre o versor de u.
(d) Se u=(1,0,1)B encontre o versor de u.
(e) Encontre a norma de cada versor apresentado nos itens (a), (b), (c) e (d) deste problema.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o versor de vários vetores em V^3 usando uma base ortonormal B=vec e1,vec e2,vec e3. Vamos usar a definição de norma em R^3 e a fórmula do versor.

Passo 2

Seja vec u=(x,y,z)B. Então a norma é
|vec u| = raizx^2 + y^2 + z^2
e o versor é
hat u = vec u|vec u|,

Passo 3

Para (a), vec u=(-1,-2,-3)B.
Calculamos
|vec u| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = raiz14
Logo
hat ua = (-1raiz14, -2raiz14, -3raiz14)B

Passo 4

Para (b), vec u=(1,2,3)B.
Temos
|vec u| = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz14
Logo
hat ub = (1raiz14, 2raiz14, 3raiz14)B

Passo 5

Para (c), vec u=(1,3,1)B.
Calculamos
|vec u| = raiz1^2 + 3^2 + 1^2 = raiz11
Logo
hat uc = (1raiz11, 3raiz11, 1raiz11)B

Passo 6

Para (d), vec u=(1,0,1)B.
Obtemos
|vec u| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2
Logo
hat ud = (1raiz2, 0, 1raiz2)B

Passo 7

Para (e), como cada versor foi obtido dividindo o vetor pela própria norma, segue que
|hat ua| = |hat ub| = |hat uc| = |hat ud| = 1

Resposta

(a) hat ua = (-1raiz14, -2raiz14, -3raiz14)B
(b) hat ub = (1raiz14, 2raiz14, 3raiz14)B
(c) hat uc = (1raiz11, 3raiz11, 1raiz11)B
(d) hat ud = (1raiz2, 0, 1raiz2)B
(e) |hat ua| = |hat ub| = |hat uc| = |hat ud| = 1

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