Seja
um espaço vetorial sobre
, demonstre que:
Para cada
, tem-se
.
Para cada
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, num espaço vetorial
sobre
, que o inverso do inverso de um vetor é o próprio vetor, ou seja,
para todo
.
Para isso vamos usar os axiomas de espaço vetorial relativos à existência e unicidade do elemento neutro aditivo e do inverso aditivo.
Para isso vamos usar os axiomas de espaço vetorial relativos à existência e unicidade do elemento neutro aditivo e do inverso aditivo.
Passo 2
Lembre que, em
, existe um elemento
tal que, para todo
,
e que, dado um vetor
, existe um único vetor
(o inverso aditivo de
) satisfazendo
Passo 3
Aplique essa definição ao vetor
. Pelo fato de
ser o inverso aditivo de
, temos
Passo 4
Por outro lado, sabemos que
. Logo tanto
quanto
satisfazem
isto é, ambos são inversos aditivos de
.
Passo 5
Como o axioma garante unicidade do inverso aditivo, concluímos que
para todo
.