Seja V um espaço vetorial sobre R, demonstre que:
Para cada u in V, tem-se -(-u)=u.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, num espaço vetorial V sobre R, que o inverso do inverso de um vetor é o próprio vetor, ou seja,
-(-u) = u
para todo uin V.
Para isso vamos usar os axiomas de espaço vetorial relativos à existência e unicidade do elemento neutro aditivo e do inverso aditivo.

Passo 2

Lembre que, em V, existe um elemento 0in V tal que, para todo vin V,
v + 0 = v = 0 + v,
e que, dado um vetor win V, existe um único vetor -win V (o inverso aditivo de w) satisfazendo
w + (-w) = 0 e (-w) + w = 0

Passo 3

Aplique essa definição ao vetor -u. Pelo fato de -(-u) ser o inverso aditivo de -u, temos
(-u) + l(-(-u)r) = 0

Passo 4

Por outro lado, sabemos que u + (-u)=0. Logo tanto u quanto -(-u) satisfazem
(-u) + (cdot) = 0,
isto é, ambos são inversos aditivos de -u.

Passo 5

Como o axioma garante unicidade do inverso aditivo, concluímos que
-(-u) = u
para todo uin V.

Resposta

-(-u) = u, forall,uin V

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