Problema 7 Seja B=e1, e2, e3 uma base ortornormal de V^3.
Se u=(-1,-1,-1)B, encontre |12 u|

Passo 1

O enunciado diz que temos uma base ortonormal B=e1,e2,e3 em R^3 e que
u=(-1,-1,-1)B,
ou seja, em coordenadas dessa base ortonormal
u=-1;e1-1;e2-1;e3
Pediu-se l|tfrac12ur|. Vamos usar que a norma relativa a uma base ortonormal é a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas, e que ao multiplicar um vetor por escalar alpha sua norma multiplica por |alpha|.

Passo 2

Escrevendo explicitamente em coordenadas canônicas (já que a base é ortonormal, essas coordenadas são justamente (-1,-1,-1) no referencial padrão), a norma de u vale
|u| =raiz(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2 =raiz1+1+1 =raiz3

Passo 3

Agora usamos a propriedade da norma para múltiplo escalar: se alpha é escalar e v é vetor, então
|alpha,v| =|alpha|;|v|
Aqui temos alpha=tfrac12 e v=u.

Passo 4

Aplicando essa propriedade, obtemos
l|tfrac12,ur| =l|tfrac12r|;|u| =tfrac12;raiz3 =raiz32

Resposta

raiz32

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