Problema 3(2,0): A diferença de nível, entre dois pontos, medida por nivelamento trigonométrico obtida através da fórmula:
\Delta h=S \operatorname{cotag} z+\frac{1-k}{2 R} S^{2}
onde, S é a distância horizontal entre o teodolito e o ponto, z o ângulo zenital, R o raio da Terra (assumido ser esférico) e k o coeficiente de correlação. Se \mathrm{S}=30011,00 \mathrm{~m}, \mathrm{z}=88^{\circ} 38^{\prime} 43^{\prime \prime}, \mathrm{k}=0,13 e \mathrm{R}=6371000 \mathrm{~m}, com desvio padrão \sigma_{S}=0,005 \mathrm{~m}, \sigma_{Z}=15^{\prime \prime}, \sigma_{k}=0,02 e \sigma_{R}=10000 \mathrm{~m}, respectivamente.
a) Calcular o desvio padrão do desnível \left(\sigma_{\Delta h}\right);
b) Qual das variáveis tem a maior contribuição no desvio padrão final.

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula do desnível obtido por nivelamento trigonométrico:
\Delta h = S \cot z \;+\;\frac{1 - k}{2R}\,S^{2}
e fornece as incertezas \sigma_{S}, \sigma_{z}, \sigma_{k}, \sigma_{R}. Para encontrar o desvio padrão \sigma_{\Delta h}, vamos usar a lei de propagação de incertezas:
\sigma_{\Delta h}^{2} =\Bigl(\frac{\partial \Delta h}{\partial S}\Bigr)^{2}\sigma_{S}^{2} +\Bigl(\frac{\partial \Delta h}{\partial z}\Bigr)^{2}\sigma_{z}^{2} +\Bigl(\frac{\partial \Delta h}{\partial k}\Bigr)^{2}\sigma_{k}^{2} +\Bigl(\frac{\partial \Delta h}{\partial R}\Bigr)^{2}\sigma_{R}^{2}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais da função
\Delta h(S,z,k,R)=S\cot z+\frac{1-k}{2R}S^{2}.
Derivando, obtemos
\frac{\partial \Delta h}{\partial S} =\cot z \;+\;\frac{1-k}{R}\,S,
\frac{\partial \Delta h}{\partial z} =S\,\frac{d}{dz}(\cot z) =-S\,\csc^{2}z,
\frac{\partial \Delta h}{\partial k} =-\frac{S^{2}}{2R},
\frac{\partial \Delta h}{\partial R} =-(1-k)\,\frac{S^{2}}{2R^{2}}.

Passo 3

Convertendo z=88^\circ38'43'' em radianos:
z_{\rm rad} =\bigl(88+ \tfrac{38}{60} + \tfrac{43}{3600}\bigr)\frac{\pi}{180} \approx1{,}5473\;\text{rad}, \sigma_{z}=15''=15/206265\approx7{,}27\times10^{-5} rad.
Calculamos também
\cot z\approx0{,}02351, \qquad \csc^{2}z\approx1{,}00055.
Substituindo S=30011 m, k=0.13, R=6{,}371{,}000 m nas derivadas, achamos
\frac{\partial \Delta h}{\partial S}\approx0{,}02761, \quad \frac{\partial \Delta h}{\partial z}\approx-30027{,}6,
\frac{\partial \Delta h}{\partial k}\approx-7{,}07, \quad \frac{\partial \Delta h}{\partial R}\approx-9{,}65\times10^{-6}.

Passo 4

Agora cada contribuição à variância:
(\partial_{S}\Delta h)^{2}\sigma_{S}^{2} =(0{,}02761)^{2}(0{,}005)^{2}\approx1{,}90\times10^{-8},
(\partial_{z}\Delta h)^{2}\sigma_{z}^{2} =(30027{,}6)^{2}(7{,}27\times10^{-5})^{2}\approx4{,}77,
(\partial_{k}\Delta h)^{2}\sigma_{k}^{2} =(7{,}07)^{2}(0{,}02)^{2}\approx0{,}020,
(\partial_{R}\Delta h)^{2}\sigma_{R}^{2} =(9{,}65\times10^{-6})^{2}(10\,000)^{2}\approx0{,}0093.

Passo 5

Somando as variâncias e extraindo a raiz:
\sigma_{\Delta h} =\sqrt{4{,}77+0{,}020+0{,}0093+1{,}9\times10^{-8}} \approx\sqrt{4{,}7993} \approx2{,}19\;\text{m}.

Passo 6

Comparando as contribuições, o termo associado a \sigma_{z} (ângulo zenital) domina, pois gera cerca de 4{,}77 na variância total.

Resposta

a) \sigma_{\Delta h}\approx2{,}19,m
b) A maior contribuição ao desvio padrão vem da incerteza em z (ângulo zenital).

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