Questão 07. ( 1,0 ) \qquad Durante uma competição de foguetes, os engenheiros estão ajustando os parâmetros de lançamento para otimizar a trajetória. Eles descobriram que a altura h (em metros) do foguete em função do tempo t (em segundos) pode ser modelada pela seguinte equação biquadrada: t^{4}-8 t^{2}+15=0
Os engenheiros precisam determinar os instantes tem que o foguete atinge alturas específicas. Quais sāo os valores de t (em segundos) que satisfazem essa equação?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação biquadrada
t^{4}-8t^{2}+15=0
e pede os valores de t que a satisfazem. Para resolver, vamos usar a substituição típica em biquadradas: definir u=t^{2} e obter uma equação quadrática em u.

Passo 2

Fazendo u=t^{2}, a equação fica
u^{2}-8u+15=0.
Agora é só resolver essa quadrática em u.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara em
u^{2}-8u+15=0,
temos
u=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\cdot1\cdot15}}{2\cdot1} =\frac{8\pm\sqrt{64-60}}{2} =\frac{8\pm2}{2}.
Logo
u=5\quad\text{ou}\quad u=3.

Passo 4

Voltando à variável t, temos
t^{2}=5\quad\Longrightarrow\quad t=\pm\sqrt{5},
t^{2}=3\quad\Longrightarrow\quad t=\pm\sqrt{3}.

Passo 5

Como t representa tempo, normalmente consideramos apenas as raízes não negativas. Portanto os instantes físicos são
t=\sqrt{3}\quad\text{e}\quad t=\sqrt{5}.

Resposta

\sqrt{3} segundos e \sqrt{5} segundos.

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