(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Anel)
(b) Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de Dirichlet para a equação de Laplace no anel
ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0 & se R1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no anel
Conteúdo: separação de variáveis em coordenadas polares e expansão em séries de Fourier.
Vamos precisar da equação
urr+tfrac1r,ur+tfrac1r^2uthetatheta=0
e das condições de contorno em r=R_1 e r=R_2.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
u(r,theta)=R(r),Theta(theta)
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por R,\Theta, obtemos separação de variáveis
r^2R''+rR'R=-Theta''Theta=n^2
onde n^2 é constante de separação (inteiro n≥0 para satisfazer periodicidade em θ).

Passo 3

Para cada modo n≥1 temos a parte angular
Thetan''+n^2Thetan=0
cuja solução é combinação de cos(nθ) e sin(nθ), e a parte radial
r^2Rn''+rRn'-n^2Rn=0
cuja solução geral é
Rn(r)=An,r^n+Bn,r^-n
O modo n=0 (constante) leva à solução radial
R0(r)=C0+D0ln r

Passo 4

Agora expandimos a condição em r=R_2 em série de Fourier:
f2(theta)=a02+sumn=1^inftyl(ancos ntheta+bnsin nthetar),
com
$$a_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f_2(\theta)\cos n\theta,d\theta,\quad
b_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f_2(\theta)\sin n\theta,d\theta. an=1piintegral0^2pif2(theta)cos ntheta,dtheta, bn=1piintegral0^2pif2(theta)sin ntheta,dthetaA_nR_1n+B_nR_1{-n}=0,\quad A_nR_2n+B_nR_2{-n}=a_n\ (oub_n),$$
cuja solução dá o fator radial
AnR1^n+BnR1^-n=0, AnR2^n+BnR2^-n=an (ou bn),
Para n=0, das duas equações em C_0,D_0 vem
r^n-R1^2nr^-nR2^n-R1^2nR2^-n

Passo 5

Finalmente, juntando todos os modos, a solução é
$$u(r,\theta)=\frac{a_0}{2}\frac{\ln(r/R_1)}{\ln(R_2/R_1)}
+\sum_{n=1}\infty\frac{rn-R_1{2n}r{-n}}{R_2n-R_1{2n}R_2^{-n}}\bigl[a_n\cos(n\theta)+b_n\sin(n\theta)\bigr].$$

Resposta

u(r,theta)=a02,ln(r/R1)ln(R2/R1)+sumn=1^inftyr^n-R1^2nr^-nR2^n-R1^2nR2^-nl[ancos(ntheta)+bnsin(ntheta)r],
onde
an=1piintegral0^2pif2(theta)cos ntheta,dtheta, bn=1piintegral0^2pif2(theta)sin ntheta,dtheta

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