(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Anel)
(b) Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de Dirichlet para a equação de Laplace no anel
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no anel
Conteúdo: separação de variáveis em coordenadas polares e expansão em séries de Fourier.
Vamos precisar da equação
urr+tfrac1r,ur+tfrac1r^2uthetatheta=0
e das condições de contorno em r=R_1 e r=R_2.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
u(r,theta)=R(r),Theta(theta)
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por R,\Theta, obtemos separação de variáveis r^2R''+rR'R=-Theta''Theta=n^2
onde n^2 é constante de separação (inteiro n≥0 para satisfazer periodicidade em θ).
Passo 3
Para cada modo n≥1 temos a parte angular
Thetan''+n^2Thetan=0
cuja solução é combinação de cos(nθ) e sin(nθ), e a parte radial r^2Rn''+rRn'-n^2Rn=0
cuja solução geral é
Rn(r)=An,r^n+Bn,r^-n
O modo n=0 (constante) leva à solução radial R0(r)=C0+D0ln r
Passo 4
Agora expandimos a condição em r=R_2 em série de Fourier:
f2(theta)=a02+sumn=1^inftyl(ancos ntheta+bnsin nthetar),
com
$$a_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f_2(\theta)\cos n\theta,d\theta,\quad