Problema 5.8. Encontre um exemplo de função que seja descontínua em todo número real.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de função que seja descontínua em todo ponto real. Para isso vamos usar o critério de continuidade via limite e o fato de que tanto os racionais quanto os irracionais são densos em .
Passo 2
Definimos a função de Dirichlet por
Passo 3
Seja cinR qualquer. Como Q e RsetminusQ são densos em R, existem sequências ,(xn)subsetQ e ,(yn)subsetRsetminusQ tais que limntoinftyxn=c e limntoinftyyn=c.
Então
limntoinftyf(xn)=1 e limntoinftyf(yn)=0,
logo o limite limxto cf(x) não existe. Assim, f não é contínua em c.
Passo 4
Como c foi um ponto arbitrário de R, concluímos que f é descontínua em todo número real.
Resposta
Um exemplo é a função de Dirichlet
f(x)= 1, & se xinQ, 0, & se xinRsetminusQ
Ela é descontínua em cada cinR pois a densidade de Q e de RsetminusQ impede a existência de um único valor-limite em qualquer ponto.