• Problema 5.8. Encontre um exemplo de função que seja descontínua em todo número real.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função fcolon RtoR que seja descontínua em todo ponto real. Para isso vamos usar o critério de continuidade via limite e o fato de que tanto os racionais quanto os irracionais são densos em R.

Passo 2

Definimos a função de Dirichlet por
f(x)= 1, & se xinQ, 0, & se xinRsetminusQ

Passo 3

Seja cinR qualquer. Como Q e RsetminusQ são densos em R, existem sequências
,(xn)subsetQ e ,(yn)subsetRsetminusQ tais que
limntoinftyxn=c e limntoinftyyn=c.
Então
limntoinftyf(xn)=1 e limntoinftyf(yn)=0,
logo o limite limxto cf(x) não existe. Assim, f não é contínua em c.

Passo 4

Como c foi um ponto arbitrário de R, concluímos que f é descontínua em todo número real.

Resposta

Um exemplo é a função de Dirichlet
f(x)= 1, & se xinQ, 0, & se xinRsetminusQ
Ela é descontínua em cada cinR pois a densidade de Q e de RsetminusQ impede a existência de um único valor-limite em qualquer ponto.

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