Problema 7: Um gás ideal a 300 K com pressão inicial de 15 bar é expandido de forma isotérmica e reversível até que sua pressão seja igual a 1 bar. (a) Calcule o trabalho máximo que pode ser obtido por essa expansão e (b) \Delta U, \Delta H, \Delta G e \Delta S.

Passo 1

O enunciado descreve um mol de gás ideal à temperatura constante T=300\\ \mathrm{K}, com pressão inicial P_{1}=15\\ \mathrm{bar}, que é expandido reversivelmente e isotermicamente até P_{2}=1\\ \mathrm{bar}. Como o processo é isotérmico para gás ideal, vamos usar a equação do trabalho reversível, além das propriedades termodinâmicas: \Delta U, \Delta H, \Delta S e \Delta G.

Passo 2

O trabalho máximo extraído (trabalho realizado pelo gás) em uma expansão isotérmica reversível é
w_{\text{rev}} = nRT\ln\!\bigl(\tfrac{V_{2}}{V_{1}}\bigr).
Pela equação de estado P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2} em temperatura constante, tem-se \tfrac{V_{2}}{V_{1}}=\tfrac{P_{1}}{P_{2}}. Para n=1 mol:
w_{\text{rev}} = (1)(8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}})(300\\ \mathrm{K})\ln\!\bigl(\tfrac{15}{1}\bigr) = 2494{,}2\\ \mathrm{J}\times\ln(15) \approx 6{,}76\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Para gás ideal em processo isotérmico vale
\Delta U = 0 \quad\text{e}\quad \Delta H = 0
porque energia interna e entalpia dependem apenas da temperatura.

Passo 4

O calor trocado em regime reversível é q_{\text{rev}}=-w_{\text{rev}}, e a variação de entropia é
\Delta S = \frac{q_{\text{rev}}}{T} = \frac{nRT\ln(P_{1}/P_{2})}{T} = nR\ln\!\bigl(\tfrac{P_{1}}{P_{2}}\bigr).
Para n=1 mol:
\Delta S = (8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}})\ln(15) \approx 22{,}5\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 5

A energia livre de Gibbs varia como
\Delta G = \Delta H - T\,\Delta S = -\,T\,\Delta S = -\,nRT\ln\!\bigl(\tfrac{P_{1}}{P_{2}}\bigr).
Para n=1 mol:
\Delta G = - (8{,}314)(300)\ln(15) \approx -6{,}76\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) w_{\text{max}} \approx 6{,}76\times10^{3}\\ \mathrm{J} (trabalho extraído).
(b) \Delta U=0, \Delta H=0, \Delta G\approx -6{,}76\times10^{3}\\ \mathrm{J}, \Delta S\approx 22{,}5\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

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