(Problema 5.3.8 Himmelblau 8^{\mathrm{a}} edição) Na fermentação anaeróbia de grãos, a levedura Saccharomyces cerevisiae digere a glicose do vegetal para formar os produtos etanol e ácido propenoico, de acordo com as seguintes reações globais:
Reação 1: \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6} \rightarrow 2 \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}+2 \mathrm{CO}_{2}
Reação 2: \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6} \rightarrow 2 \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{3} \mathrm{CO}_{2} \mathrm{H}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
Em um reator aberto, R.A. kg de uma solução aquosa de 12 \% de glicose escoam para o interior do reator. Durante a fermentação, ( \mathbf{0 , 0 3 4} \times R.A.) kg de dióxido de carbono são produzidos associados a ( 0,026 \times R.A.) kg de glicose não reagidos. Quais são as porcentagens mássicas do etanol e do ácido propenoico na saída do mosto? Considere que nenhuma glicose seja assimilada pela levedura.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou tomar uma base unitária de fácil uso, explico por que em seguida):
  • Entrada: R.A. kg de solução aquosa com 12\% em massa de glicose.
    Portanto a massa de glicose na alimentação é \;0,12\cdot R.A\; kg.
  • Durante a fermentação são produzidos \;0,034\cdot R.A\; kg de \mathrm{CO}_2.
  • Também há \;0,026\cdot R.A\; kg de glicose não reagida na saída.
  • Reações estequiométricas (fornecidas):
    Reação 1: \mathrm{C}_6\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_6 \rightarrow 2\;\mathrm{C}_2\mathrm{H}_5\mathrm{OH} + 2\;\mathrm{CO}_2
    Reação 2: \mathrm{C}_6\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_6 \rightarrow 2\;\mathrm{C}_2\mathrm{H}_3\mathrm{CO}_2\mathrm{H} + 2\;\mathrm{H}_2\mathrm{O}
  • Pressuposto do enunciado: nenhuma glicose é assimilada pela levedura (ou seja, toda a glicose que não está como “não reagida” foi convertida por essas reações).
  • Pedido: quais são as porcentagens mássicas do etanol e do ácido propenoico na saída do mosto?
Observação útil: é mais simples trabalhar por unidade de massa de alimentação; vou tomar a base R.A.=1\\ \mathrm{kg}. No final os resultados serão percentuais, portanto independem da escolha da base.

Passo 2

Normalização (por que isso é permitido): como todas as quantidades fornecidas são proporcionais a R.A, podemos definir R.A=1\\ \mathrm{kg} para facilitar as contas. Isso não altera as porcentagens finais.
Com R.A=1\\ \mathrm{kg}:
  • massa de glicose na alimentação: \;0,12\cdot 1 = 0,12\\ \mathrm{kg} = 120\\ \mathrm{g}.
  • massa de glicose não reagida na saída: \;0,026\cdot 1 = 0,026\\ \mathrm{kg} = 26\\ \mathrm{g}.
  • massa de glicose reagida: \;120 - 26 = 94\\ \mathrm{g}.
  • massa de \mathrm{CO}_2 produzida: \;0,034\cdot 1 = 0,034\\ \mathrm{kg} = 34\\ \mathrm{g}.
Agora precisamos relacionar a massa de \mathrm{CO}_2 produzida com quantos mols (ou massa) de glicose reagiram pela Reação 1, porque somente a Reação 1 produz \mathrm{CO}_2. Para isso vamos usar conceitos de mol, massa molar e estequiometria.

Passo 3

Conceitos rápidos (didático):
  • Molar mass (massa molar) é a massa de 1 mol de uma substância. Para converter massa ⇄ mol usa-se \text{n (mol)} = \dfrac{\text{massa (g)}}{\text{M (g/mol)}}.
  • Estequiometria: os coeficientes estequiométricos da reação nos dizem quantos mols de produto se formam por mol de reagente.
Vamos precisar das massas molares (uso valores com 2 decimais):
  • \mathrm{M}_{\mathrm{C}_6\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_6} = 180,16\\ \mathrm{g/mol}.
  • \mathrm{M}_{\mathrm{CO}_2} = 44,01\\ \mathrm{g/mol}.
  • \mathrm{M}_{\mathrm{C}_2\mathrm{H}_5\mathrm{OH}} = 46,07\\ \mathrm{g/mol}.
  • \mathrm{M}_{\text{ácido propenoico (C}_3\text{H}_4\text{O}_2)} = 72,06\\ \mathrm{g/mol}.á
Na Reação 1, cada mol de glicose gera 2 mol de \mathrm{CO}_2; portanto a massa de \mathrm{CO}_2 formada por 1 mol de glicose reagida pela Reação 1 é
2\cdot \mathrm{M}_{\mathrm{CO}_2} = 2\cdot 44,01 = 88,02\\ \mathrm{g\\ CO_2\\ por\\ mol\\ de\\ glicose\\ (Reação\\\ 1)}.çã

Passo 4

Determinar quantos mols de glicose reagiram pela Reação 1 usando a massa de \mathrm{CO}_2 produzida.
  • Mols de \mathrm{CO}_2 produzidos: \;n_{CO_2}=\dfrac{34\\ \mathrm{g}}{44,01\\ \mathrm{g/mol}}, mas mais direto usamos a relação por mol de glicose:
  • Mols de glicose que reagiram pela Reação 1:
n_{g,1} = \dfrac{\text{massa de }CO_2\\ \text{produzida}}{88,02\\ \mathrm{g/mol}} = \dfrac{34}{88,02} \approx 0{,}38628\\ \mathrm{mol}.
Massa de glicose consumida pela Reação 1:
m_{g,1} = n_{g,1}\cdot \mathrm{M}_{\mathrm{C}_6\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_6} = 0{,}38628\cdot 180{,}16 \approx 69{,}57\\ \mathrm{g}.
Lembrete: a massa total de glicose reagida é 94\\ \mathrm{g}. Assim a glicose que reagiu pela Reação 2 tem massa
m_{g,2} = 94 - 69{,}57 = 24{,}43\\ \mathrm{g}.
Mols de glicose que reagiram pela Reação 2:
n_{g,2} = \dfrac{24{,}43}{180{,}16} \approx 0{,}13559\\ \mathrm{mol}.

Passo 5

Agora calculamos as massas dos produtos gerados por cada reação, usando a estequiometria:
Reação 1 (por mol de glicose gera 2 mol de etanol):
  • massa de etanol formada por mol de glicose (Reação 1): 2\cdot 46{,}07 = 92{,}14\\ \mathrm{g}.
  • massa total de etanol produzida:
m_{\text{etanol}} = n_{g,1}\cdot 92{,}14 = 0{,}38628\cdot 92{,}14 \approx 35{,}60\\ \mathrm{g}.
Reação 2 (por mol de glicose gera 2 mol de ácido propenoico):
  • massa de ácido por mol de glicose (Reação 2): 2\cdot 72{,}06 = 144{,}12\\ \mathrm{g}.
  • massa total de ácido produzida:
m_{\text{ácido}} = n_{g,2}\cdot 144{,}12 = 0{,}13559\cdot 144{,}12 \approx 19{,}55\\ \mathrm{g}.á
Também (checagem) a Reação 2 produz água: 2 mols de \mathrm{H}_2\mathrm{O} por mol de glicose; massa água produzida:
m_{\mathrm{H_2O,\;prod}} = n_{g,2}\cdot (2\cdot 18{,}02) = 0{,}13559\cdot 36{,}04 \approx 4{,}88\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Montagem do balanço de massas na saída (mosto). Com R.A=1\\ \mathrm{kg}:
Componentes e massas (g):
  • água inicialmente na alimentação: 1{,}000\\ \mathrm{kg} - 0{,}120\\ \mathrm{kg} = 0{,}880\\ \mathrm{kg} = 880\\ \mathrm{g}.
  • água produzida: \approx 4{,}88\\ \mathrm{g}.
  • etanol produzido: \approx 35{,}60\\ \mathrm{g}.
  • ácido produzido: \approx 19{,}55\\ \mathrm{g}.
  • glicose não reagida: 26\\ \mathrm{g}.
  • \mathrm{CO}_2 formado (34 g) sai como gás (reator aberto), portanto não está na massa líquida do mosto.
Somando os componentes que ficam no mosto:
880 + 4{,}88 + 35{,}60 + 19{,}55 + 26 \approx 966{,}03\\ \mathrm{g}.
Este total é igual a 1000 - 34 = 966\\ \mathrm{g} com pequena diferença de arredondamento, ok.
Agora as porcentagens mássicas (massa do componente / massa total do mosto × 100):
  • Percentual de etanol:
\%\text{etanol} = \dfrac{35{,}60}{966{,}03}\times 100 \approx 3{,}69\%.
  • Percentual de ácido propenoico:
\%\text{ácido} = \dfrac{19{,}55}{966{,}03}\times 100 \approx 2{,}02\%.á

Resposta

Etanol: 3,69\%
Ácido propenoico: 2,02\%

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