Problema de máximo e mínimo: Dada a função
, determine os valores de
para os quais
alcança um máximo ou mínimo local.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de máximo e mínimo da função
. A gente vai usar um pouco de cálculo, mais especificamente as derivadas, para encontrar os pontos onde a função tem valores máximos ou mínimos locais. Basicamente, vamos descobrir onde a função “para” de subir ou descer.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, quão rápido a função está subindo ou descendo.
A função é:
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, encontramos os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela sempre existe, então vamos igualar
a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, os valores críticos são:
Passo 4
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, usamos a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, a função tem um máximo local nesse ponto.
- Para
:
Como
, a função tem um mínimo local nesse ponto.
Resposta
A função
alcança um máximo local em
e um mínimo local em
.