Problema de máximo e mínimo: Dada a função f(x)=x^3-6 x^2+9 x+1, determine os valores de x para os quais f(x) alcança um máximo ou mínimo local.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de máximo e mínimo da função f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 . A gente vai usar um pouco de cálculo, mais especificamente as derivadas, para encontrar os pontos onde a função tem valores máximos ou mínimos locais. Basicamente, vamos descobrir onde a função “para” de subir ou descer.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função f(x) . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, quão rápido a função está subindo ou descendo.
A função é:
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1
A derivada de f(x) é:
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos, ou seja, os valores de x onde a derivada é zero ou não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela sempre existe, então vamos igualar f'(x) a zero:
3x^2 - 12x + 9 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
x^2 - 4x + 3 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
(x - 1)(x - 3) = 0
Então, os valores críticos são:
x = 1 e x = 3

Passo 4

Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, usamos a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de f(x) :
f''(x) = 6x - 12
Agora, avaliamos f''(x) nos pontos críticos:
  1. Para x = 1 :
f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6
Como f''(1) < 0 , a função tem um máximo local nesse ponto.
  1. Para x = 3 :
f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6
Como f''(3) > 0 , a função tem um mínimo local nesse ponto.

Resposta

A função f(x) alcança um máximo local em x = 1 e um mínimo local em x = 3 .

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