Use indução para mostrar os seguintes fatos para todo n in N :
(a-1)(1+a+cdots+a^n)=a^n+1-1, a in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos indução matemática para provar que, para todo número natural n , a expressão (a - 1)(1 + a + cdots + a^n) é igual a a^n+1 - 1 , onde a é um número real. Isso envolve entender como funciona a soma de uma progressão geométrica e aplicar o método de indução para validar a fórmula para todos os n .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para n = 0 . Isso é o nosso caso base na indução.
Para n = 0 :
(a - 1)(1) = a - 1
E do outro lado da igualdade:
a^0+1 - 1 = a^1 - 1 = a - 1
Então, ambos os lados são iguais. Isso confirma que a fórmula funciona para n = 0 .

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum n = k . Ou seja, assumimos que:
(a - 1)(1 + a + cdots + a^k) = a^k+1 - 1
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que, se a afirmação é verdadeira para n = k , então ela também é verdadeira para n = k + 1 . Vamos calcular a expressão para n = k + 1 :
(a - 1)(1 + a + cdots + a^k + a^k+1)
Podemos separar a soma:
(a - 1)(1 + a + cdots + a^k) + (a - 1)a^k+1
Pela hipótese de indução, sabemos que (a - 1)(1 + a + cdots + a^k) = a^k+1 - 1. Substituindo:
a^k+1 - 1 + (a - 1)a^k+1
Distribuindo (a - 1) na segunda parte:
a^k+1 - 1 + a cdot a^k+1 - a^k+1
Simplificando os termos:
a^k+1 - 1 + a^k+2 - a^k+1 = a^k+2 - 1
Então, mostramos que:
(a - 1)(1 + a + cdots + a^k+1) = a^k+2 - 1
Isso confirma que a fórmula funciona para n = k + 1 .

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo n in N ,
(a - 1)(1 + a + cdots + a^n) = a^n+1 - 1

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