Use indução para mostrar os seguintes fatos para todo
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos indução matemática para provar que, para todo número natural
, a expressão
é igual a
, onde
é um número real. Isso envolve entender como funciona a soma de uma progressão geométrica e aplicar o método de indução para validar a fórmula para todos os
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
. Isso é o nosso caso base na indução.
Para
:
E do outro lado da igualdade:
Então, ambos os lados são iguais. Isso confirma que a fórmula funciona para
.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Vamos calcular a expressão para
:
Podemos separar a soma:
Pela hipótese de indução, sabemos que
. Substituindo:
Distribuindo
na segunda parte:
Simplificando os termos:
Então, mostramos que:
Isso confirma que a fórmula funciona para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo
,