classificar o sistema (por exemplo: compatível determinado, compatível indeterminado, ou impossível).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
As incógnitas são x,y,z,t,w.
A terceira equação pode ser simplificada: x+y-2z-y = x-2z = 0.
Portanto temos 4 equações lineares homogêneas em 5 incógnitas.]
Passo 2
Vou transformar o sistema em matriz aumentada e aplicar o método de Gauss-Jordan. Primeiro, escrevo a matriz aumentada correspondente às equações (cada linha = uma equação; colunas na ordem x,y,z,t,w; termo à direita é o zero):
Breve explicação didática do método: Gauss-Jordan transforma a matriz aumentada por operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até ficar em forma reduzida por linhas (RREF), onde cada pivô vale 1, está sozinho na sua coluna e acima/abaixo dele há zeros. Da RREF lemos diretamente as expressões das variáveis em função das variáveis livres.]
Passo 3
Escolho R_1 como linha-pivô inicial (tem 1 no primeiro elemento). Eliminamos as entradas na coluna 1 das linhas 2 e 3 somando apropriados múltiplos de R_1.
Explicação: agora a terceira coluna está “resolvida” (zeros em todas as outras linhas), e restou na linha 4 uma entrada não nula na coluna 4 que será o próximo pivô.]
Passo 6
Transformo R_4 para ter pivô 1 na coluna 4 e uso esse pivô para zerar as entradas na coluna 4 das linhas 1,2,3.
A coluna 5 (variável w) não tem pivô, logo w é variável livre. Chamo o parâmetro livre de \lambda, isto é w=\lambda, com \lambda\in\mathbb{R}.
Resolvo cada variável em função de \lambda:
\begin{aligned} x &= -\tfrac{18}{7}\lambda,\\[4pt] y &= \tfrac{1}{7}\lambda,\\[4pt] z &= -\tfrac{9}{7}\lambda,\\[4pt] t &= \tfrac{2}{7}\lambda,\\[4pt] w &= \lambda. \end{aligned}
Para evitar frações, é comum reparametrizar. Se definirmos s=\dfrac{\lambda}{7} (ou seja \lambda=7s), obtemos a forma mais limpa
Há um grau de liberdade (uma variável livre), então o sistema tem infinitas soluções que formam uma reta através da origem no espaço \mathbb{R}^5.
Como o sistema é homogêneo e tem mais incógnitas do que equações, é comum ter soluções não-triviais — aqui confirmamos isso.
Em termos de classificação: o sistema é compatível indeterminado (tem infinitas soluções). O posto da matriz dos coeficientes é 4 (quatro pivôs) e o número de incógnitas é 5, então dimensão do espaço solução é 5-4=1.