Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(e)\left\{\begin{array}{rr}x+2 y-z & +w=0 \\ -x-y+2 z-3 t+w=0 \\ x+y-2 z-y=0 \\ z+t+w=0\end{array}\right.\,

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo Método de Gauss-Jordan, o sistema
\text{(e)}\begin{cases} x+2y-z+w=0\\[4pt] -x-y+2z-3t+w=0\\[4pt] x+y-2z-y=0\\[4pt] z+t+w=0 \end{cases}
As tarefas são:
  • encontrar todas as soluções do sistema;
  • classificar o sistema (por exemplo: compatível determinado, compatível indeterminado, ou impossível).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As incógnitas são x,y,z,t,w.
  • A terceira equação pode ser simplificada: x+y-2z-y = x-2z = 0.
  • Portanto temos 4 equações lineares homogêneas em 5 incógnitas.]

Passo 2

Vou transformar o sistema em matriz aumentada e aplicar o método de Gauss-Jordan. Primeiro, escrevo a matriz aumentada correspondente às equações (cada linha = uma equação; colunas na ordem x,y,z,t,w; termo à direita é o zero):
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -1 & 2 & -3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
Breve explicação didática do método: Gauss-Jordan transforma a matriz aumentada por operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até ficar em forma reduzida por linhas (RREF), onde cada pivô vale 1, está sozinho na sua coluna e acima/abaixo dele há zeros. Da RREF lemos diretamente as expressões das variáveis em função das variáveis livres.]

Passo 3

Escolho R_1 como linha-pivô inicial (tem 1 no primeiro elemento). Eliminamos as entradas na coluna 1 das linhas 2 e 3 somando apropriados múltiplos de R_1.
Operações:
R_2 \leftarrow R_2 + R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Aplicando:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -1 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
Explicação: somando R_1 a R_2 eliminamos o -1 da primeira coluna; subtraindo R_1 de R_3 eliminamos o 1 da primeira coluna da terceira linha.]

Passo 4

Agora usamos R_2 (que tem 1 na coluna 2) como pivô para zerar as outras entradas da coluna 2 (em R_1 e R_3).
Operações:
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2.
Aplicando obtemos:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & -3 & 6 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -6 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
Comentário: agora temos um 1 na posição (3,3) (terceira linha, terceira coluna), que vai virar pivô da terceira coluna.]

Passo 5

Usamos R_3 (com pivô 1 na coluna 3) para zerar as entradas na coluna 3 das linhas 1, 2 e 4.
Operações:
R_1 \leftarrow R_1 + 3R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 - R_3,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - R_3.
Aplicando:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & -12 & 6 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 3 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -6 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 7 & -2 & 0 \end{array}\right]
Explicação: agora a terceira coluna está “resolvida” (zeros em todas as outras linhas), e restou na linha 4 uma entrada não nula na coluna 4 que será o próximo pivô.]

Passo 6

Transformo R_4 para ter pivô 1 na coluna 4 e uso esse pivô para zerar as entradas na coluna 4 das linhas 1,2,3.
Primeiro escalo:
R_4 \leftarrow \frac{1}{7}R_4 = \left[0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ -\tfrac{2}{7}\\ \big|\\\ 0\right].
Depois elimino acima:
R_1 \leftarrow R_1 + 12R_4,\qquad R_2 \leftarrow R_2 - 3R_4,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + 6R_4.
Resultado final em forma reduzida:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{18}{7} & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{7} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac{9}{7} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{7} & 0 \end{array}\right]
Verificação rápida: cada linha agora dá uma equação isolando uma variável em função da coluna 5 ( w).]

Passo 7

Lemos as equações da RREF. As linhas correspondem a:
\begin{aligned} &x + \tfrac{18}{7}w = 0,\\[4pt] &y - \tfrac{1}{7}w = 0,\\[4pt] &z + \tfrac{9}{7}w = 0,\\[4pt] &t - \tfrac{2}{7}w = 0. \end{aligned}
A coluna 5 (variável w) não tem pivô, logo w é variável livre. Chamo o parâmetro livre de \lambda, isto é w=\lambda, com \lambda\in\mathbb{R}.
Resolvo cada variável em função de \lambda:
\begin{aligned} x &= -\tfrac{18}{7}\lambda,\\[4pt] y &= \tfrac{1}{7}\lambda,\\[4pt] z &= -\tfrac{9}{7}\lambda,\\[4pt] t &= \tfrac{2}{7}\lambda,\\[4pt] w &= \lambda. \end{aligned}
Para evitar frações, é comum reparametrizar. Se definirmos s=\dfrac{\lambda}{7} (ou seja \lambda=7s), obtemos a forma mais limpa
(x,y,z,t,w)=s(-18,\,1,\,-9,\,2,\,7),\qquad s\in\mathbb{R}.]

Passo 8

Interpretação e classificação:
  • Há um grau de liberdade (uma variável livre), então o sistema tem infinitas soluções que formam uma reta através da origem no espaço \mathbb{R}^5.
  • Como o sistema é homogêneo e tem mais incógnitas do que equações, é comum ter soluções não-triviais — aqui confirmamos isso.
  • Em termos de classificação: o sistema é compatível indeterminado (tem infinitas soluções). O posto da matriz dos coeficientes é 4 (quatro pivôs) e o número de incógnitas é 5, então dimensão do espaço solução é 5-4=1.

Resposta

(x,y,z,t,w)=s(-18,\,1,\,-9,\,2,\,7),\quad s\in\mathbb{R}.
Sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).

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