Problema 3.5. Mostre que se a times c=b times c, com c neq 0, então a=b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a lei de cancelamento da multiplicação em um corpo (por exemplo R). Ou seja, dadas as hipóteses
a times c = b times c e c neq 0,
devemos concluir que a = b.

Passo 2

Como c neq 0, pelo axioma de corpo existe o inverso multiplicativo ,c^-1 tal que
c times c^-1 = 1
Multiplicamos ambos os lados da igualdade atimes c = btimes c pelo escalar c^-1:
(a times c)times c^-1 ;=;(b times c)times c^-1

Passo 3

Pelo axioma da associatividade da multiplicação podemos reescrever cada lado assim:
a times (c times c^-1) ;=; b times (c times c^-1)

Passo 4

Como ctimes c^-1=1 (identidade multiplicativa), a expressão acima vira
atimes1 ;=; btimes1
Pelo axioma da identidade multiplicativa, atimes1=a e btimes1=b, segue que
a = b

Resposta

Ficou demonstrado que, em um corpo, se ,atimes c = btimes c com cneq0, então obrigatoriamente a = b.

Exercícios relacionados