Teste 13 Suponha que você fará uma viagem de carro de 5.000 km . O tempo de vida da bateria do seu carro pode ser modelado por uma variável aleatória exponencial com valor esperado de 15.000 km . Suponha também que você já tenha percorrido 2.000 km com essa bateria que está no seu carro. Qual é a probabilidade de que você tenha de trocar a bateria durante essa viagem de 5.000 km ?
A 1-e^{-2 / 5}.
(B) 1-e^{-1 / 5}.
C 1-e^{-3 / 17}.
(D) 1-e^{-2 / 15}.
1-e^{-1 / 3}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: o tempo de vida da bateria em quilômetros é uma variável aleatória exponencial T com esperança E(T)=15000 km.
  • Dado: a bateria já rodou 2000 km.
  • Viagem: faltam 5000 km para completar a viagem.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que seja preciso trocar a bateria durante essa viagem de 5000 km, ou seja, qual a probabilidade de a bateria falhar antes de percorrer esses 5000 km adicionais, sabendo que já passou 2000 km?
Em termos de T (vida total em km) a pergunta pede a probabilidade
P\bigl(T \le 2000+5000 \mid T>2000\bigr) = P\bigl(T \le 7000 \mid T>2000\bigr).

Passo 2

Relembrando a distribuição exponencial e como extrair seu parâmetro.
  • A densidade da exponencial (para t\ge 0) é f(t)=\lambda e^{-\lambda t}.
  • A função sobrevivência é P(T>t)=e^{-\lambda t}.
  • A esperança da exponencial é E(T)=1/\lambda. Aqui foi dado E(T)=15000, logo o parâmetro \lambda é
\lambda=\frac{1}{15000}\quad\text{(unidade: por km).}
Expliquei o que é \lambda: é a taxa de falha por quilômetro; quanto maior \lambda, mais curto é o tempo médio de vida.

Passo 3

Propriedade de memória (memória nula) da exponencial — por que é útil aqui.
A exponencial tem a propriedade de ser “sem memória”: para quaisquer s,t\ge 0,
P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t).
Prova curta usando a função sobrevivência:
P(T>s+t\mid T>s)=\frac{P(T>s+t)}{P(T>s)}=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(T>t).
Interpretação prática: se a bateria já sobreviveu s km, a distribuição do tempo adicional até falhar é a mesma como se ela fosse nova (dependendo só do incremento t), para a exponencial.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao problema concreto.
Queremos P(T\le 7000\mid T>2000). Usando a sem-memória, a probabilidade de sobreviver mais 5000 km, dado que já sobreviveu 2000, é a mesma que a probabilidade de sobreviver 5000 km a partir do início, isto é
P(T>7000\mid T>2000)=P(T>5000)=e^{-\lambda\cdot 5000}.
Portanto a probabilidade de falhar durante a viagem (ou seja, falhar nos próximos 5000 km) é
1-P(T>5000)=1-e^{-\lambda\cdot 5000}.
Substituindo \lambda=\dfrac{1}{15000} obtém-se
1-e^{-5000/15000}=1-e^{-1/3}.
(Obs.: uma derivação alternativa sem usar a propriedade diretamente é calcular
P(T\le 7000\mid T>2000)=\frac{F(7000)-F(2000)}{1-F(2000)}
com F(t)=1-e^{-\lambda t}, que simplifica ao mesmo resultado 1-e^{-\lambda\cdot 5000}.)

Passo 5

Valor numérico aproximado e interpretação final curta.
Calculemos aproximadamente:
1-e^{-1/3}\approx 1-0,71653\approx 0,28347.
Então a probabilidade de precisar trocar a bateria durante a viagem é cerca de 0,283, ou 28,3\%.
Força aí — com esse raciocínio você resolve qualquer problema parecido em prova: identificar o evento condicional e lembrar da propriedade sem-memória da exponencial.

Resposta

1-e^{-1/3}

Exercícios relacionados