Teste 13 Suponha que você fará uma viagem de carro de 5.000 km . O tempo de vida da bateria do seu carro pode ser modelado por uma variável aleatória exponencial com valor esperado de 15.000 km . Suponha também que você já tenha percorrido 2.000 km com essa bateria que está no seu carro. Qual é a probabilidade de que você tenha de trocar a bateria durante essa viagem de 5.000 km ?
A
.
(B)
.
C
.
(D)
.
□
.
A
(B)
C
(D)
□
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: o tempo de vida da bateria em quilômetros é uma variável aleatória exponencial
com esperança km. - Dado: a bateria já rodou
km. - Viagem: faltam
km para completar a viagem. - Pergunta: qual é a probabilidade de que seja preciso trocar a bateria durante essa viagem de
km, ou seja, qual a probabilidade de a bateria falhar antes de percorrer esses km adicionais, sabendo que já passou km?
Em termos de
(vida total em km) a pergunta pede a probabilidade
Passo 2
Relembrando a distribuição exponencial e como extrair seu parâmetro.
- A densidade da exponencial (para
) é . - A função sobrevivência é
. - A esperança da exponencial é
. Aqui foi dado , logo o parâmetro é
Expliquei o que é
: é a taxa de falha por quilômetro; quanto maior
, mais curto é o tempo médio de vida.
Passo 3
Propriedade de memória (memória nula) da exponencial — por que é útil aqui.
A exponencial tem a propriedade de ser “sem memória”: para quaisquer
,
Prova curta usando a função sobrevivência:
Interpretação prática: se a bateria já sobreviveu
km, a distribuição do tempo adicional até falhar é a mesma como se ela fosse nova (dependendo só do incremento
), para a exponencial.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao problema concreto.
Queremos
. Usando a sem-memória, a probabilidade de sobreviver mais
km, dado que já sobreviveu
, é a mesma que a probabilidade de sobreviver
km a partir do início, isto é
Portanto a probabilidade de falhar durante a viagem (ou seja, falhar nos próximos
km) é
Substituindo
obtém-se
(Obs.: uma derivação alternativa sem usar a propriedade diretamente é calcular
com
, que simplifica ao mesmo resultado
.)
Passo 5
Valor numérico aproximado e interpretação final curta.
Calculemos aproximadamente:
Então a probabilidade de precisar trocar a bateria durante a viagem é cerca de
, ou
.
Força aí — com esse raciocínio você resolve qualquer problema parecido em prova: identificar o evento condicional e lembrar da propriedade sem-memória da exponencial.