Teste 12 Suponha que X seja uma variável aleatória discreta modelada por uma distribuição de Poisson. Dado que \mathbb{P}[X=0]=\frac{1}{e^{2}}, quantas vezes maior é a probabilidade de que X assuma valor de 1 do que valor de 4 ?
A 6 .
(B) 2 .
C 4 .
(D) 8 .
□ 3 .

Passo 1

O enunciado dá que X tem distribuição de Poisson e que \mathbb{P}[X=0]=\dfrac{1}{e^{2}}. A pergunta é: “Quantas vezes maior é a probabilidade de X assumir o valor 1 do que o valor 4?” Ou seja, calcular a razão
\frac{\mathbb{P}[X=1]}{\mathbb{P}[X=4]}.
Informações relevantes dadas:
  • X é Poisson;
  • \mathbb{P}[X=0]=\dfrac{1}{e^{2}}.

Passo 2

Lembrete da fórmula da distribuição de Poisson (essa é a ferramenta principal que vamos usar):
\mathbb{P}[X=k]=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde
  • \lambda>0 é o parâmetro da Poisson (média e variância da distribuição);
  • k é um inteiro não negativo;
  • k! (fatorial de k) significa k\times (k-1)\times\cdots\times1 e por convenção 0!=1.

Passo 3

Usar o caso k=0 para encontrar \lambda. Substituindo k=0 na fórmula:
\mathbb{P}[X=0]=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{0}}{0!}=e^{-\lambda}\cdot1\cdot1=e^{-\lambda}.
O enunciado deu \mathbb{P}[X=0]=\dfrac{1}{e^{2}}=e^{-2}. Portanto
e^{-\lambda}=e^{-2}\quad\Rightarrow\quad \lambda=2.

Passo 4

Agora escrevemos \mathbb{P}[X=1] e \mathbb{P}[X=4] usando \lambda=2.
\mathbb{P}[X=1]=e^{-2}\,\frac{2^{1}}{1!}=e^{-2}\cdot2.
\mathbb{P}[X=4]=e^{-2}\,\frac{2^{4}}{4!}=e^{-2}\cdot\frac{16}{24}=e^{-2}\cdot\frac{2}{3},
pois 4!=24 e 2^{4}=16.

Passo 5

Calcular a razão pedida cancelando o fator comum e^{-2}:
\frac{\mathbb{P}[X=1]}{\mathbb{P}[X=4]} =\frac{e^{-2}\cdot2}{e^{-2}\cdot\frac{2}{3}} =\frac{2}{\tfrac{2}{3}} =3.

Resposta

3

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