Problema 6 (0,5 Pontos cada): A dureza de Rockwell de uma liga partícular em uma produção 6́ distribuída normalmente, com média de 90 e um desvio padrāo de 4 .
a) Se uma liga é aceitável somente se a dureza estiver entre 82 e 92 , qual a probabilidade de uma liga escolhida ao acaso ser aceitável?
b) Se um intervalo aceitável for definido por (
), para qual intervalo teremos
de ligas com dureza aceitável?
c) Se o intervalo for como em a) e for selecionado uma amostra aleatória sistemática de 200 ligas, qual é o número esperado de ligas aceitáveis nesta amostra?
a) Se uma liga é aceitável somente se a dureza estiver entre 82 e 92 , qual a probabilidade de uma liga escolhida ao acaso ser aceitável?
b) Se um intervalo aceitável for definido por (
c) Se o intervalo for como em a) e for selecionado uma amostra aleatória sistemática de 200 ligas, qual é o número esperado de ligas aceitáveis nesta amostra?
Passo 1
O enunciado diz que a dureza
das ligas é distribuída normalmente com média
e desvio padrão
. Em símbolos:
As perguntas são:
- (a) Qual a probabilidade de
estar entre e , isto é ? - (b) Para qual valor de
o intervalo simétrico contém das ligas? - (c) Se escolhermos uma amostra sistemática de
ligas e aceitarmos aquelas no intervalo de (a), qual o número esperado de ligas aceitáveis nessa amostra?
Passo 2
Conceito chave (explicado passo a passo): para trabalhar com uma normal qualquer convém padronizar para a normal padrão
. A padronização é:
onde
é a média e
o desvio padrão. Aqui
e
. A função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por
. Para achar probabilidades do tipo
faz-se
Explicando em miúdos: primeiro converte os limites para quantos desvios-padrão estão longe da média (esses são os
), então usa-se a tabela da normal padrão ou uma calculadora para obter as probabilidades
.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
e
:
Portanto
Usando propriedades da normal padrão (simetria) e valores tabelados:
Logo
Interpretação rápida: cerca de
das ligas têm dureza no intervalo
a
.
Passo 4
Queremos
tal que
Padronizando, isso equivale a
Para uma probabilidade central
a cauda total é
, logo cada cauda tem
. Assim precisamos do quantil
tal que
. Esse
é o quantil
(valores tabelados ou função inversa):
Portanto
, de onde
O intervalo aceitável é então
Passo 5
Rápido lembrete prático: se tiver uma tabela da normal padrão procure o valor
na tabela de
e leia o
correspondente (ou use a função inversa da normal na calculadora/ software: por exemplo
). O valor padrão usado em estatística para 90% central é
.
Passo 6
Se a amostra tem
ligas e cada liga tem probabilidade
de ser aceitável (o
é o resultado da parte a), então o número de aceitáveis na amostra segue, aproximadamente, uma distribuição binomial com média/valor esperado
Usando
e
:
Interpretação: em média espera-se encontrar cerca de
ligas aceitáveis em uma amostra de
(ou, arredondando, aproximadamente
ligas).
Resposta
(a)
(b) com
(c)
(b)
(c)