Problema 6 (0,5 Pontos cada): A dureza de Rockwell de uma liga partícular em uma produção 6́ distribuída normalmente, com média de 90 e um desvio padrāo de 4 .
a) Se uma liga é aceitável somente se a dureza estiver entre 82 e 92 , qual a probabilidade de uma liga escolhida ao acaso ser aceitável?
b) Se um intervalo aceitável for definido por ( 90-u ; 90+u ), para qual intervalo teremos 90 \% de ligas com dureza aceitável?
c) Se o intervalo for como em a) e for selecionado uma amostra aleatória sistemática de 200 ligas, qual é o número esperado de ligas aceitáveis nesta amostra?

Passo 1

O enunciado diz que a dureza X das ligas é distribuída normalmente com média 90 e desvio padrão 4. Em símbolos:
X \sim N\bigl(90,\;4^2\bigr).
As perguntas são:
  • (a) Qual a probabilidade de X estar entre 82 e 92, isto é P(82\le X\le 92)?
  • (b) Para qual valor de u o intervalo simétrico (90-u,\;90+u) contém 90\% das ligas?
  • (c) Se escolhermos uma amostra sistemática de 200 ligas e aceitarmos aquelas no intervalo de (a), qual o número esperado de ligas aceitáveis nessa amostra?

Passo 2

Conceito chave (explicado passo a passo): para trabalhar com uma normal qualquer convém padronizar para a normal padrão Z\sim N(0,1). A padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma o desvio padrão. Aqui \mu=90 e \sigma=4. A função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por \Phi(z)=P(Z\le z). Para achar probabilidades do tipo P(a\le X\le b) faz-se
P(a\le X\le b)=\Phi\!\biggl(\frac{b-\mu}{\sigma}\biggr)-\Phi\!\biggl(\frac{a-\mu}{\sigma}\biggr).
Explicando em miúdos: primeiro converte os limites para quantos desvios-padrão estão longe da média (esses são os z), então usa-se a tabela da normal padrão ou uma calculadora para obter as probabilidades \Phi(z).

Passo 3

Aplicando a fórmula para a=82 e b=92:
\frac{82-90}{4}=\frac{-8}{4}=-2,\qquad \frac{92-90}{4}=\frac{2}{4}=0{,}5.
Portanto
P(82\le X\le92)=\Phi(0{,}5)-\Phi(-2).
Usando propriedades da normal padrão (simetria) e valores tabelados:
\Phi(0{,}5)\approx 0{,}691462,\qquad \Phi(-2)=1-\Phi(2)\approx 1-0{,}97725=0{,}02275.
Logo
P(82\le X\le92)\approx 0{,}691462-0{,}02275=0{,}668712\approx 0{,}6687.
Interpretação rápida: cerca de 66{,}87\% das ligas têm dureza no intervalo 82 a 92.

Passo 4

Queremos u tal que
P(90-u\le X\le 90+u)=0{,}90.
Padronizando, isso equivale a
P\!\Bigl(-\frac{u}{4}\le Z\le\frac{u}{4}\Bigr)=0{,}90.
Para uma probabilidade central 0{,}90 a cauda total é 0{,}10, logo cada cauda tem 0{,}05. Assim precisamos do quantil z tal que \Phi(z)=1-0{,}05=0{,}95. Esse z é o quantil z_{0{,}95} (valores tabelados ou função inversa):
z_{0{,}95}\approx 1{,}645.
Portanto \dfrac{u}{4}=1{,}645, de onde
u=1{,}645\times4=6{,}58.
O intervalo aceitável é então
(90-u,\;90+u)=(90-6{,}58,\;90+6{,}58)=(83{,}42,\;96{,}58).

Passo 5

Rápido lembrete prático: se tiver uma tabela da normal padrão procure o valor 0{,}9500 na tabela de \Phi e leia o z correspondente (ou use a função inversa da normal na calculadora/ software: por exemplo \Phi^{-1}(0{,}95)). O valor padrão usado em estatística para 90% central é z\approx1{,}645.

Passo 6

Se a amostra tem n=200 ligas e cada liga tem probabilidade p de ser aceitável (o p é o resultado da parte a), então o número de aceitáveis na amostra segue, aproximadamente, uma distribuição binomial com média/valor esperado
E[\text{aceitáveis}]=n\cdot p.á
Usando p\approx 0{,}668712 e n=200:
E[\text{aceitáveis}]=200\times 0{,}668712\approx 133{,}7424\approx 133{,}74.á
Interpretação: em média espera-se encontrar cerca de 133{,}7 ligas aceitáveis em uma amostra de 200 (ou, arredondando, aproximadamente 134 ligas).

Resposta

(a) P(82\le X\le92)\approx 0{,}6687
(b) (90-u,\;90+u)=(83{,}42,\;96{,}58) com u\approx 6{,}58
(c) E[\text{aceitáveis}]=200\times 0{,}668712\approx 133{,}74á

Exercícios relacionados