Problema 5 (1,0 Ponto): Se a probabilidade de se envolver em um acidente de carro é de 0,05 durante um ano, qual é a probabilidade de se ter dois ou mais acidentes durante qualquer período de 10 anos?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pergunta claramente o que devemos achar:
- Probabilidade de se envolver em um acidente em um ano:
. - Período considerado:
anos. - Pergunta: qual é a probabilidade de ter dois ou mais acidentes durante esses
anos?
Observação importante (assunção usada): vou assumir que cada ano é uma tentativa independente em que “ter um acidente naquele ano” é um evento de Bernoulli com probabilidade
. Ou seja, contamos quantos anos, entre os
, em que ocorreu pelo menos um acidente; isso reduz o problema a uma distribuição binomial com número de experimentos
e probabilidade de sucesso
.
Passo 2
Apresentando a ferramenta que vamos usar: distribuição binomial.
- Definição: se
é o número de sucessos em ensaios independentes de Bernoulli com probabilidade de sucesso em cada ensaio, então
onde
(lê‑se “combinatório”) é o número de maneiras de escolher
sucessos entre
ensaios e vale
- No nosso problema,
, , e queremos .
Passo 3
Usando a regra do complemento para facilitar o cálculo:
- É mais fácil calcular
como
- Isso porque
e têm fórmulas simples na binomial e somá‑las é menos trabalho do que somar todas as probabilidades de até .
Passo 4
Calcular
e
explicitamente.
- Para
:
Substituindo
:
- Para
:
Substituindo
:
Passo 5
Fazer as contas numéricas (aproximação suficiente para prova).
- Primeiro calcule
. Usando uma calculadora ou tabela exponencial (ou logaritmos) obtém‑se
- Em seguida
, logo
- Então
- Somando:
Passo 6
Calcular a probabilidade pedida e interpretar o resultado.
- Aplicando o complemento:
- Em termos percentuais, isso é aproximadamente
. - Interpretação simples: com probabilidade anual baixa (
), ao acumular por anos ainda há uma chance relativamente pequena, cerca de , de ter pelo menos dois anos com acidentes.
Força aí — já é um bom avanço entender e aplicar a binomial; na prova, memorize a fórmula binomial e o truque do complemento para “pelo menos” problemas.