Problema 5 (1,0 Ponto): Se a probabilidade de se envolver em um acidente de carro é de 0,05 durante um ano, qual é a probabilidade de se ter dois ou mais acidentes durante qualquer período de 10 anos?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pergunta claramente o que devemos achar:
  • Probabilidade de se envolver em um acidente em um ano: p = 0,05.
  • Período considerado: 10 anos.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de ter dois ou mais acidentes durante esses 10 anos?
Observação importante (assunção usada): vou assumir que cada ano é uma tentativa independente em que “ter um acidente naquele ano” é um evento de Bernoulli com probabilidade p=0,05. Ou seja, contamos quantos anos, entre os 10, em que ocorreu pelo menos um acidente; isso reduz o problema a uma distribuição binomial com número de experimentos n=10 e probabilidade de sucesso p=0,05.

Passo 2

Apresentando a ferramenta que vamos usar: distribuição binomial.
  • Definição: se X é o número de sucessos em n ensaios independentes de Bernoulli com probabilidade de sucesso p em cada ensaio, então
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} (lê‑se “combinatório”) é o número de maneiras de escolher k sucessos entre n ensaios e vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
  • No nosso problema, n=10, p=0,05, e queremos P(X\ge 2).

Passo 3

Usando a regra do complemento para facilitar o cálculo:
  • É mais fácil calcular P(X\ge 2) como
P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1).
  • Isso porque P(X=0) e P(X=1) têm fórmulas simples na binomial e somá‑las é menos trabalho do que somar todas as probabilidades de k=2 até 10.

Passo 4

Calcular P(X=0) e P(X=1) explicitamente.
  • Para k=0:
P(X=0)=\binom{10}{0}\,p^{0}(1-p)^{10}=(1-p)^{10}.
Substituindo p=0,05:
1-p=0,95, \qquad P(X=0)=0,95^{10}.
  • Para k=1:
P(X=1)=\binom{10}{1}\,p^{1}(1-p)^{9}=10\cdot p\cdot(1-p)^{9}.
Substituindo p=0,05:
P(X=1)=10\cdot 0,05\cdot 0,95^{9}=0,5\cdot 0,95^{9}.

Passo 5

Fazer as contas numéricas (aproximação suficiente para prova).
  • Primeiro calcule 0,95^{10}. Usando uma calculadora ou tabela exponencial (ou logaritmos) obtém‑se
0,95^{10}\approx 0,5987369392.
  • Em seguida 0,95^{9}=0,95^{10}/0,95, logo
0,95^{9}\approx \frac{0,5987369392}{0,95}\approx 0,6302494097.
  • Então
P(X=0)\approx 0,5987369392, \qquad P(X=1)\approx 0,5\cdot 0,6302494097\approx 0,3151247049.
  • Somando:
P(X=0)+P(X=1)\approx 0,5987369392+0,3151247049\approx 0,9138616441.

Passo 6

Calcular a probabilidade pedida e interpretar o resultado.
  • Aplicando o complemento:
P(X\ge 2)=1-(P(X=0)+P(X=1))\approx 1-0,9138616441\approx 0,0861383559.
  • Em termos percentuais, isso é aproximadamente 8,6138\%.
  • Interpretação simples: com probabilidade anual baixa ( 5\%), ao acumular por 10 anos ainda há uma chance relativamente pequena, cerca de 8{,}6\%, de ter pelo menos dois anos com acidentes.
Força aí — já é um bom avanço entender e aplicar a binomial; na prova, memorize a fórmula binomial e o truque do complemento para “pelo menos” problemas.

Resposta

0,0861383559\approx 0,08614
8,6138\%

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