Questão 2) (9, 0 ptos, onde cada item vale 3,0 ptos cada). (Mudança para Coordenadas Polares) - Use coordenadas polares para determinar os limites das funções:
lim (x, y) (0,0) sen(x y)raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) sen(xy)raizx^2+y^2
usando coordenadas polares. O conteúdo é mudança de variável para analisar o comportamento quando a distância ao ponto (0,0) tende a zero.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = rcostheta, y = rsintheta,
de modo que
raizx^2+y^2=r e xy = r^2costhetasintheta
Assim a função vira
sen(xy)raizx^2+y^2 = senl(r^2costhetasinthetar)r

Passo 3

Usamos a desigualdade l|sen ur|<= |u|. Então
|senl(r^2costhetasinthetar)r| <= l|r^2costhetasinthetar|r = r,l|costhetasinthetar| <= rcdot12
pois l|costhetasinthetar|<=tfrac12. Como rto0 quando (x,y)to(0,0), o lado direito tende a zero.

Resposta

O limite é 0.

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