Problema 1 ( 2 pontos): Expresse o conjunto de soluções em notação de intervalos da inequação
(x^2+2 x+2)(x+3)2 x+1 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
l(x^2+2x+2r)(x+3)2x+1>= 0
Usaremos análise de sinais dos fatores do numerador e do denominador.

Passo 2

Observe que x^2+2x+2 é sempre positivo (discriminante negativo), logo o sinal do numerador vem só de x+3. O denominador 2x+1 anula-se em x=-tfrac12. Assim a inequação é equivalente a
x+32x+1>= 0
com a condição extra xneq -tfrac12.

Passo 3

Na reta real marcamos os pontos críticos x=-3 (zero do numerador) e x=-tfrac12 (polo do denominador). Nos três intervalos:
1. Para x< -3, tem-se x+3<0 e 2x+1<0, logo
tfracx+32x+1>0.
2. Para -3< x< -tfrac12, tem-se x+3>0 e 2x+1<0, logo quociente <0.
3. Para x> -tfrac12, tem-se x+3>0 e 2x+1>0, logo
tfracx+32x+1>0.
Em x=-3 o quociente vale zero (satisfaz >=0) e em x=-tfrac12 a expressão não está definida.

Passo 4

Portanto as soluções, em forma de desigualdade, são
x<= -3 ou x> -tfrac12

Resposta

(-infty,-3];cup;l(-tfrac12,inftyr)

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