Problema 3 (2 pontos): Determine os intervalos de crescimento, decrescimento, concavidade e pontos de inflexão da função
.
Passo 1
O enunciado pede que se determine, para a função
, os seguintes itens:
- Os intervalos em que
é crescente. - Os intervalos em que
é decrescente. - Os intervalos de concavidade (onde é côncava para cima e onde é côncava para baixo).
- Os pontos de inflexão.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- A função é o polinômio
. - Não há outras restrições (domínio é todo
).
Passo 2
Conceito e primeiro passo prático: para encontrar crescimento/decrescimento usamos a primeira derivada
. Lembrete rápido das regras de derivação para potências e constantes:
- Se
então . - A derivada de uma constante é
. - A derivada é linear: a derivada de soma é soma das derivadas e constantes saem multiplicando.
Aplicando isso termo a termo em
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto,
Passo 3
Encontrar pontos críticos (onde
é zero ou não existe). Aqui
é um polinômio, existe para todo
; então resolvemos
:
Dividindo por
para simplificar:
Usamos a fórmula quadrática
com
,
,
.
Calculemos o discriminante:
Calculemos o discriminante:
Logo
. Assim
Isso dá duas raízes:
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Determinar sinal de
em cada intervalo gerado pelos pontos críticos para achar crescimento/decrescimento. Os intervalos são
,
e
.
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e calculamos
nele.
- Para
(no intervalo ):
Logo
nesse intervalo, portanto
é crescente em
.
- Para
(no intervalo ):
Logo
nesse intervalo, portanto
é decrescente em
.
- Para
(no intervalo ):
Logo
nesse intervalo, portanto
é crescente em
.
Interpretação breve (como usar isso na prova): onde
a função sobe (crescente); onde
a função desce (decrescente). Não precisa calcular valores da função para saber isso, só o sinal da derivada.
Passo 5
Classificação rápida dos pontos críticos (opcional mas útil para intuir o gráfico):
- Em
a derivada muda de positiva para negativa ( ), portanto tem um máximo local em . - Em
a derivada muda de negativa para positiva ( ), portanto tem um mínimo local em .
Se quiser os valores:
Calcule passo a passo:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Então
(máximo local).
Passo 6
Agora vamos tratar concavidade e pontos de inflexão usando a segunda derivada
. Conceito: a segunda derivada indica a concavidade:
- Se
então é côncava para cima (parece uma taça) naquele ponto. - Se
então é côncava para baixo (parece um teto) naquele ponto. - Um ponto de inflexão é onde a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa; geralmente ocorre onde
e há troca de sinal.
Derivando
:
Passo 7
Encontrar onde
para candidatos a ponto de inflexão:
Agora verificamos o sinal de
à esquerda e à direita de
.
- Para
(à esquerda de ):
então
é côncava para baixo em um intervalo à esquerda de
.
- Para
(à direita de ):
então
é côncava para cima em um intervalo à direita de
.
Como houve troca de sinal de
em
, esse ponto é um ponto de inflexão. Vamos também fornecer a coordenada
correspondente:
Calcule passo a passo:
Colocando em denominador
:
Portanto o ponto de inflexão é
.
Passo 8
Resumo interpretativo (para usar na prova):
- Use
para saber onde a função cresce/decresce verificando o sinal em intervalos determinados por pontos críticos. - Use
para concavidade e pontos de inflexão; resolva e confira troca de sinal.
Resposta
Crescimento:
Decrescimento:
Côncava para baixo:
Côncava para cima:
Ponto de inflexão:
Decrescimento:
Côncava para baixo:
Côncava para cima:
Ponto de inflexão: