Problema 3 (2 pontos): Determine os intervalos de crescimento, decrescimento, concavidade e pontos de inflexão da função f(x)=2 x^{3}-x^{2}-4 x+1.

Passo 1

O enunciado pede que se determine, para a função f(x)=2x^{3}-x^{2}-4x+1, os seguintes itens:
  • Os intervalos em que f é crescente.
  • Os intervalos em que f é decrescente.
  • Os intervalos de concavidade (onde é côncava para cima e onde é côncava para baixo).
  • Os pontos de inflexão.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A função é o polinômio f(x)=2x^{3}-x^{2}-4x+1.
  • Não há outras restrições (domínio é todo \mathbb{R}).

Passo 2

Conceito e primeiro passo prático: para encontrar crescimento/decrescimento usamos a primeira derivada f'(x). Lembrete rápido das regras de derivação para potências e constantes:
  • Se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}.
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada é linear: a derivada de soma é soma das derivadas e constantes saem multiplicando.
Aplicando isso termo a termo em f(x)=2x^{3}-x^{2}-4x+1:
  • Derivada de 2x^{3} é 2\cdot 3x^{2}=6x^{2}.
  • Derivada de -x^{2} é -2x.
  • Derivada de -4x é -4.
  • Derivada de 1 é 0.
Portanto,
f'(x)=6x^{2}-2x-4.

Passo 3

Encontrar pontos críticos (onde f' é zero ou não existe). Aqui f' é um polinômio, existe para todo x; então resolvemos f'(x)=0:
6x^{2}-2x-4=0.
Dividindo por 2 para simplificar:
3x^{2}-x-2=0.
Usamos a fórmula quadrática x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} com a=3, b=-1, c=-2.
Calculemos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\cdot 3\cdot(-2)=1+24=25.
Logo \sqrt{\Delta}=5. Assim
x=\dfrac{1\pm 5}{6}.
Isso dá duas raízes:
x_{1}=\dfrac{1-5}{6}=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}, \qquad x_{2}=\dfrac{1+5}{6}=1.
Portanto os pontos críticos são x=-\dfrac{2}{3} e x=1.

Passo 4

Determinar sinal de f'(x) em cada intervalo gerado pelos pontos críticos para achar crescimento/decrescimento. Os intervalos são (-\infty,-\tfrac{2}{3}), (-\tfrac{2}{3},1) e (1,\infty).
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e calculamos f' nele.
  1. Para x=-1 (no intervalo (-\infty,-\tfrac{2}{3})):
f'(-1)=6(-1)^{2}-2(-1)-4=6+2-4=4>0.
Logo f'>0 nesse intervalo, portanto f é crescente em (-\infty,-\tfrac{2}{3}).
  1. Para x=0 (no intervalo (-\tfrac{2}{3},1)):
f'(0)=6\cdot 0^{2}-2\cdot 0-4=-4<0.
Logo f'<0 nesse intervalo, portanto f é decrescente em (-\tfrac{2}{3},1).
  1. Para x=2 (no intervalo (1,\infty)):
f'(2)=6\cdot 2^{2}-2\cdot 2-4=6\cdot 4-4-4=24-8=16>0.
Logo f'>0 nesse intervalo, portanto f é crescente em (1,\infty).
Interpretação breve (como usar isso na prova): onde f'>0 a função sobe (crescente); onde f'<0 a função desce (decrescente). Não precisa calcular valores da função para saber isso, só o sinal da derivada.

Passo 5

Classificação rápida dos pontos críticos (opcional mas útil para intuir o gráfico):
  • Em x=-\tfrac{2}{3} a derivada muda de positiva para negativa ( +\to-), portanto f tem um máximo local em x=-\tfrac{2}{3}.
  • Em x=1 a derivada muda de negativa para positiva ( -\to+), portanto f tem um mínimo local em x=1.
Se quiser os valores:
f(1)=2\cdot 1^{3}-1^{2}-4\cdot 1+1=2-1-4+1=-2.
f\!\left(-\tfrac{2}{3}\right)=2\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{3}-\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2}-4\left(-\tfrac{2}{3}\right)+1
Calcule passo a passo:
\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{3}=-\tfrac{8}{27},\qquad 2\cdot\left(-\tfrac{8}{27}\right)=-\tfrac{16}{27},
\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9},\qquad -\tfrac{4}{9},
-4\left(-\tfrac{2}{3}\right)=+\tfrac{8}{3}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 27:
-\tfrac{16}{27}-\tfrac{12}{27}+\tfrac{72}{27}+\tfrac{27}{27}=\tfrac{71}{27}.
Então f\!\left(-\tfrac{2}{3}\right)=\tfrac{71}{27} (máximo local).

Passo 6

Agora vamos tratar concavidade e pontos de inflexão usando a segunda derivada f''(x). Conceito: a segunda derivada indica a concavidade:
  • Se f''(x)>0 então f é côncava para cima (parece uma taça) naquele ponto.
  • Se f''(x)<0 então f é côncava para baixo (parece um teto) naquele ponto.
  • Um ponto de inflexão é onde a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa; geralmente ocorre onde f''(x)=0 e há troca de sinal.
Derivando f'(x)=6x^{2}-2x-4:
f''(x)=12x-2.

Passo 7

Encontrar onde f''(x)=0 para candidatos a ponto de inflexão:
12x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}.
Agora verificamos o sinal de f'' à esquerda e à direita de x=\tfrac{1}{6}.
  • Para x=0 (à esquerda de \tfrac{1}{6}):
f''(0)=12\cdot 0-2=-2<0,
então f é côncava para baixo em um intervalo à esquerda de x=\tfrac{1}{6}.
  • Para x=1 (à direita de \tfrac{1}{6}):
f''(1)=12\cdot 1-2=10>0,
então f é côncava para cima em um intervalo à direita de x=\tfrac{1}{6}.
Como houve troca de sinal de f'' em x=\tfrac{1}{6}, esse ponto é um ponto de inflexão. Vamos também fornecer a coordenada y correspondente:
f\!\left(\tfrac{1}{6}\right)=2\left(\tfrac{1}{6}\right)^{3}-\left(\tfrac{1}{6}\right)^{2}-4\left(\tfrac{1}{6}\right)+1.
Calcule passo a passo:
\left(\tfrac{1}{6}\right)^{3}=\tfrac{1}{216},\qquad 2\cdot \tfrac{1}{216}=\tfrac{1}{108},
\left(\tfrac{1}{6}\right)^{2}=\tfrac{1}{36}, \qquad -\tfrac{1}{36}, \qquad -4\cdot \tfrac{1}{6}=-\tfrac{2}{3}.
Colocando em denominador 108:
\tfrac{1}{108}-\tfrac{3}{108}-\tfrac{72}{108}+\tfrac{108}{108}=\tfrac{34}{108}=\tfrac{17}{54}.
Portanto o ponto de inflexão é \left(\tfrac{1}{6},\tfrac{17}{54}\right).

Passo 8

Resumo interpretativo (para usar na prova):
  • Use f'(x) para saber onde a função cresce/decresce verificando o sinal em intervalos determinados por pontos críticos.
  • Use f''(x) para concavidade e pontos de inflexão; resolva f''(x)=0 e confira troca de sinal.

Resposta

Crescimento: \left(-\infty,-\dfrac{2}{3}\right)\cup\left(1,\infty\right)
Decrescimento: \left(-\dfrac{2}{3},1\right)
Côncava para baixo: \left(-\infty,\dfrac{1}{6}\right)
Côncava para cima: \left(\dfrac{1}{6},\infty\right)
Ponto de inflexão: \left(\dfrac{1}{6},\dfrac{17}{54}\right)

Exercícios relacionados