Problema (2 pontos): Se a função
tem um valor mínimo local de
em
, quais são os valores de
e
?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede isto:
- Função:
. - Informação adicional: a função tem um valor mínimo local de
em . Em outras palavras, no ponto a função atinge o valor e esse ponto é um mínimo local. - Pergunta: determinar os valores de
e .
Passo 2
Conceito importante (explicado devagarzinho): quando uma função é diferenciável, um ponto interior
onde a função tem um extremo local (mínimo ou máximo) satisfaz a condição
Isto vem da ideia de que a derivada mede a inclinação da tangente; num extremo local a tangente é horizontal. Também existe o teste da segunda derivada: se
então
é mínimo local; se
é máximo local. Vamos usar essas ideias passo a passo.
Primeiro calculemos a derivada de
. Para polinômios, a regra é: a derivada de
é
. Aplicando:
Passo 3
Como há um extremo (mínimo) em
, a condição da derivada é
Substituindo
em
:
Essa é a primeira equação que relaciona
e
. Reescrevendo para isolar
:
Passo 4
A segunda informação é que o valor da função em
é
, ou seja
Calcule
diretamente da definição de
:
Portanto temos a segunda equação
Passo 5
Agora substituímos a expressão de
encontrada no Passo 3 na equação do Passo 4. Substituição:
Simplificando o lado esquerdo:
Logo
Multiplicando por
ou isolando
:
Subtraindo
(ou
) de ambos os lados:
Passo 6
Com
, voltamos à fórmula de
do Passo 3:
Passo 7
Verificação rápida usando a segunda derivada (confirma que é mínimo):
Avalia em
com
:
Como
, o ponto
é realmente um mínimo local, consistente com o enunciado.