Problema (2 pontos): Se a função f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x tem um valor mínimo local de -\frac{7}{2} em x=1, quais são os valores de a e b ?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede isto:
  • Função: f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x.
  • Informação adicional: a função tem um valor mínimo local de -\dfrac{7}{2} em x=1. Em outras palavras, no ponto x=1 a função atinge o valor f(1)=-\dfrac{7}{2} e esse ponto é um mínimo local.
  • Pergunta: determinar os valores de a e b.

Passo 2

Conceito importante (explicado devagarzinho): quando uma função é diferenciável, um ponto interior x_0 onde a função tem um extremo local (mínimo ou máximo) satisfaz a condição
f'(x_0)=0.
Isto vem da ideia de que a derivada mede a inclinação da tangente; num extremo local a tangente é horizontal. Também existe o teste da segunda derivada: se f''(x_0)>0 então x_0 é mínimo local; se f''(x_0)<0 é máximo local. Vamos usar essas ideias passo a passo.
Primeiro calculemos a derivada de f. Para polinômios, a regra é: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+a x^{2}+b x\bigr)=3x^{2}+2a x+b.

Passo 3

Como há um extremo (mínimo) em x=1, a condição da derivada é
f'(1)=0.
Substituindo x=1 em f'(x):
f'(1)=3\cdot1^{2}+2a\cdot1+b=3+2a+b=0.
Essa é a primeira equação que relaciona a e b. Reescrevendo para isolar b:
b=-3-2a.

Passo 4

A segunda informação é que o valor da função em x=1 é -\dfrac{7}{2}, ou seja
f(1)=-\dfrac{7}{2}.
Calcule f(1) diretamente da definição de f:
f(1)=1^{3}+a\cdot1^{2}+b\cdot1=1+a+b.
Portanto temos a segunda equação
1+a+b=-\dfrac{7}{2}.

Passo 5

Agora substituímos a expressão de b encontrada no Passo 3 na equação do Passo 4. Substituição:
1+a+(-3-2a)=-\dfrac{7}{2}.
Simplificando o lado esquerdo:
1-3+a-2a=-2 - a.
Logo
-2-a=-\dfrac{7}{2}.
Multiplicando por -1 ou isolando a:
a+2=\dfrac{7}{2}.
Subtraindo 2 (ou \dfrac{4}{2}) de ambos os lados:
a=\dfrac{7}{2}-2=\dfrac{7}{2}-\dfrac{4}{2}=\dfrac{3}{2}.

Passo 6

Com a=\dfrac{3}{2}, voltamos à fórmula de b do Passo 3:
b=-3-2a=-3-2\cdot\dfrac{3}{2}=-3-3=-6.

Passo 7

Verificação rápida usando a segunda derivada (confirma que é mínimo):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+2ax+b\bigr)=6x+2a.
Avalia em x=1 com a=\dfrac{3}{2}:
f''(1)=6\cdot1+2\cdot\dfrac{3}{2}=6+3=9>0.
Como f''(1)>0, o ponto x=1 é realmente um mínimo local, consistente com o enunciado.

Resposta

a=\dfrac{3}{2}
b=-6

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