1^circ ) Questão ( 12,0 ptos, onde cada item vale 4,0 ptos cada).
Sejam r1, r2: D subset R R^n, de modo que x0 in D e que
lim x x0 r2(x)=0 e |r1(x)|<A, com A in R*^+ e forall x in(x0-varepsilon, x0+varepsilon), varepsilon>0,
então calcule
lim x x0 r1(x) cdot r2(x) e lim x x0 r1(x) times r2(x)

Passo 1

O enunciado trata de limites de funções vetoriais r1,r2:DsubsetRtoR^n quando xto x0, sabendo que limxto x0r2(x)=0 e que |r1(x)|<A numa vizinhança de x0. Vamos usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz e a propriedade de limite de produto para componentes vetoriais.

Passo 2

Para o produto escalar, aplicamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
l|r1(x)cdot r2(x)r|;<=;l|r1(x)r|;l|r2(x)r| ;<;A,l|r2(x)r|
Como limxto x0|r2(x)|=0, segue que
limxto x0A,|r2(x)|=Acdot 0=0,
logo limxto x0r1(x)cdot r2(x)=0.

Passo 3

Supondo n=3 (produto vetorial bem definido), usamos a desigualdade
l|r1(x)times r2(x)r|;<=;l|r1(x)r|;l|r2(x)r| ;<;A,l|r2(x)r|
Pelo mesmo raciocínio, A,|r2(x)|to0 quando xto x0. Como a norma do vetor vai a zero, cada componente do vetor também tende a zero, ou seja,
limxto x0r1(x)times r2(x)=0(vetor nulo)

Resposta

limxto x0r1(x)cdot r2(x)=0, limxto x0r1(x)times r2(x)=0

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