Problema 1 (2.5 pts). Determine b para que a seguinte função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} seja contínua:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{4 x-x^{2}}{\sqrt{x}-2}, \quad \text { se } \quad x<4 \\ b x-20, \quad \text { se } \quad x \geq 4 \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{4x - x^{2}}{\sqrt{x}-2}, & x<4,\\\ bx - 20, & x\ge4, \end{cases}
e pede o valor de b para que f seja contínua em todo \mathbb{R}. Como as duas fórmulas já são contínuas nos seus domínios internos, o único ponto crítico é x=4, onde deve valer
\lim_{x\to4^-}f(x)=f(4)=\lim_{x\to4^+}f(x).

Passo 2

Simplificamos a expressão de f(x) para x<4 de modo a eliminar a indeterminação em x=4.
\frac{4x - x^{2}}{\sqrt{x}-2} =\frac{x(4 - x)}{\sqrt{x}-2} =\frac{x\,(2 - \sqrt{x})\,(2 + \sqrt{x})}{-(2 - \sqrt{x})} =-\,x\,(2+\sqrt{x}).

Passo 3

Calculamos o limite pela esquerda em x=4:
\lim_{x\to4^-}f(x) =\lim_{x\to4^-}\bigl[-x\,(2+\sqrt{x})\bigr] =-4\,(2+2) =-16.

Passo 4

Pela definição de f em x\ge4, temos
f(4)=b\cdot4-20=4b-20.
Para continuidade, impõe-se 4b-20=-16. Logo,
4b=4 \quad\Longrightarrow\quad b=1.

Resposta

b=1

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