(2,0 pts) Verifique se a equação
é exata. Em caso afirmativo encontre as soluções.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. O conteúdo de matéria é equação diferencial exata, que usa o critério
e a construção de uma potencial
tal que
.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma
onde, comparando com o dado, temos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais para testar o critério de exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Para obter a função potencial
com
, integramos em
:
onde
é uma função apenas de
.
Passo 5
Impondo
, temos
logo
e
, constante arbitrária. Assim,
Resposta
A solução implícita geral é
onde
é constante real.