(2,0 pts) Verifique se a equação
\left(2 x y^{2}+2 y\right)+\left(2 x^{2} y+2 x\right) y^{\prime}=0
é exata. Em caso afirmativo encontre as soluções.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
(2 x y^{2} + 2 y) + (2 x^{2} y + 2 x)\,y' = 0
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. O conteúdo de matéria é equação diferencial exata, que usa o critério
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
e a construção de uma potencial \varphi(x,y) tal que d\varphi=0.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
onde, comparando com o dado, temos
M(x,y) = 2 x y^{2} + 2 y, \quad N(x,y) = 2 x^{2} y + 2 x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais para testar o critério de exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2 x y^{2} + 2 y\bigr) = 4 x y + 2,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2 x^{2} y + 2 x\bigr) = 4 x y + 2.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Para obter a função potencial \varphi(x,y) com \phi_x = M, integramos em x:
\varphi(x,y) = \int \bigl(2 x y^{2} + 2 y\bigr)\,dx = x^{2} y^{2} + 2 x y + h(y),
onde h(y) é uma função apenas de y.

Passo 5

Impondo \phi_y = N, temos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2 x^{2} y + 2 x + h'(y) \stackrel!= 2 x^{2} y + 2 x,
logo h'(y)=0 e h(y)=C, constante arbitrária. Assim,
\varphi(x,y) = x^{2} y^{2} + 2 x y = C.

Resposta

A solução implícita geral é
x^{2} y^{2} + 2 x y = C,
onde C é constante real.

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