Problema 5. Sejam A, B, X e Y conjuntos. Prove que se A \subset X e B \subset Y, então A \cup B \subset X \cup Y.

Passo 1

O enunciado dá quatro conjuntos A,B,X,Y com as inclusões \,A\subset X e \,B\subset Y e pede para provar que
A\cup B\subset X\cup Y.
O método será o clássico de prova por elemento: mostrar que todo x\in A\cup B pertence a X\cup Y.

Passo 2

Seja x um elemento arbitrário de A\cup B. Pela definição de união, isso significa que
x\in A \quad\text{ou}\quad x\in B.

Passo 3

  • Se x\in A, então, como A\subset X, segue que x\in X, logo x\in X\cup Y.
  • Se x\in B, então, como B\subset Y, segue que x\in Y, logo x\in X\cup Y.
Em ambos os casos, x\in X\cup Y.

Passo 4

Concluímos que qualquer x\in A\cup B está também em X\cup Y. Portanto
A\cup B\subset X\cup Y.

Resposta

A\cup B\subset X\cup Y.

Exercícios relacionados