Problema 4. Sejam X e Y conjuntos. Prove que
\begin{aligned} & \mathscr{P}(X \cup Y) \supset \mathscr{P}(X) \cup \mathscr{P}(Y) . \\\ & \mathscr{P}(X \cap Y)=\mathscr{P}(X) \cap \mathscr{P}(Y) . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades envolvendo conjuntos e suas partes:
– Que a parte-poder de X \cup Y contém a união das partes-poder de X e de Y.
– Que a parte-poder de X \cap Y coincide com a interseção das partes-poder de X e de Y.
Recordando a definição:
\mathscr P(A) é o conjunto de todos os subconjuntos de A, ou seja
\mathscr P(A)=\{\,Z\mid Z\subset A\}.
Vamos usar essa definição diretamente para cada inclusão.

Passo 2

Provar que \mathscr P(X\cup Y)\supset \mathscr P(X)\cup \mathscr P(Y).
Seja Z\in \mathscr P(X)\cup \mathscr P(Y). Então ou Z\in \mathscr P(X) ou Z\in \mathscr P(Y).
– Se Z\in \mathscr P(X), então Z\subset X. Como X\subset X\cup Y, segue Z\subset X\cup Y, isto é, Z\in \mathscr P(X\cup Y).
– Se Z\in \mathscr P(Y), argumento idêntico dá Z\subset X\cup Y e então Z\in \mathscr P(X\cup Y).
Em qualquer caso Z\in \mathscr P(X\cup Y). Logo
\mathscr P(X)\cup \mathscr P(Y)\;\subset\;\mathscr P(X\cup Y),
ou seja, \mathscr P(X\cup Y)\supset \mathscr P(X)\cup \mathscr P(Y).

Passo 3

Provar que \mathscr P(X\cap Y)\subset \mathscr P(X)\cap \mathscr P(Y).
Seja Z\in \mathscr P(X\cap Y). Então Z\subset X\cap Y, o que significa simultaneamente Z\subset X e Z\subset Y. Assim Z\in \mathscr P(X) e Z\in \mathscr P(Y), logo
Z\in \mathscr P(X)\cap \mathscr P(Y).
Portanto
\mathscr P(X\cap Y)\subset \mathscr P(X)\cap \mathscr P(Y).

Passo 4

Provar que \mathscr P(X\cap Y)\supset \mathscr P(X)\cap \mathscr P(Y).
Seja Z\in \mathscr P(X)\cap \mathscr P(Y). Então Z\subset X e Z\subset Y. Daí Z\subset X\cap Y, isto é, Z\in \mathscr P(X\cap Y). Logo
\mathscr P(X)\cap \mathscr P(Y)\subset \mathscr P(X\cap Y).

Resposta

A demonstração completa mostra que
(a) \mathscr P(X\cup Y)\supset \mathscr P(X)\cup \mathscr P(Y).
(b) \mathscr P(X\cap Y)=\mathscr P(X)\cap \mathscr P(Y).

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