Problema 4. Sejam
e
conjuntos. Prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas propriedades envolvendo conjuntos e suas partes:
– Que a parte-poder de contém a união das partes-poder de
e de
.
– Que a parte-poder de coincide com a interseção das partes-poder de
e de
.
– Que a parte-poder de
– Que a parte-poder de
Recordando a definição:
é o conjunto de todos os subconjuntos de
, ou seja
Vamos usar essa definição diretamente para cada inclusão.
Passo 2
Provar que
.
Seja . Então ou
ou
.
– Se , então
. Como
, segue
, isto é,
.
– Se , argumento idêntico dá
e então
.
Em qualquer caso . Logo
Seja
– Se
– Se
Em qualquer caso
ou seja,
.
Passo 3
Provar que
.
Seja . Então
, o que significa simultaneamente
e
. Assim
e
, logo
Seja
Portanto
Passo 4
Provar que
.
Seja . Então
e
. Daí
, isto é,
. Logo
Seja
Resposta
A demonstração completa mostra que
(a) .
(b) .
(a)
(b)